题文

如图，AB是⊙O的直径，∠A=30°，延长OB到D使BD=OB。

（1）△OBC是否是等边三角形？说明理由； （2）求证：DC是⊙O的切线。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）∵∠A=30°， ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形。 （2）∵BD=OB，△OBC是等边三角形 ∴∠OCB=∠OBC=60°，BD=BC ∴∠BCD=30° ∴∠OCD=90° ∴DC是⊙O的切线。

据专家权威分析，试题“如图，AB是⊙O的直径，∠A=30°，延长OB到D使BD=OB。（1）△OBC是否是等..”主要考查你对  等边三角形，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

• 直线与圆的位置关系:
  直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
  （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；
  （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。
  （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。（d为圆心到直线的距离）

• 直线与圆的三种位置关系的判定与性质：
  （1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，
  如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
  直线l与⊙O相交d<r；
  直线l与⊙O相切d=r；
  直线l与⊙O相离d>r；
  （2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
  直线l与⊙O相交d<r2个公共点；
  直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；
  直线l与⊙O相离d>r无公共点 。
  
  圆的切线的判定和性质   
  （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
  （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
  
  切线长：
  在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
  切线长定理：
  从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

• 直线与圆的位置关系判定方法:
  平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
  1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
  如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
  如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
  如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
  
  2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为（x-a）²+（y-b）²=r²。
  令y=b，求出此时的两个x值x₁、x₂，并且规定x₁<x₂，那么： 
  当x=-C/A<x₁或x=-C/A>x₂时，直线与圆相离；
  当x_¹<x=-C/A<x₂时，直线与圆相交。