题文

Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA，OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内做等边△ODE． （1）如图（1），当E点恰好落在线段AB上，求E点坐标； （2）在（1）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由； （3）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）作EH⊥OB于点H， ∵△OED是等边三角形， ∴∠EOD=60°． 又∵∠ABO=30°， ∴∠OEB=90°． ∵BO=4， ∴OE= 1 2 OB=2． ∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30° ∴OH=1，EH= 3 ． ∴E（1， 3 ）． （2）存在线段EF=OO'． ∵∠ABO=30°，∠EDO=60° ∴∠ABO=∠DFB=30°， ∴DF=DB． ∴OO′=4-2-DB=2-DB=2-DF=ED-FD=EF （3）所求函数关系式为： 当0＜x≤2时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为△ODE面积， 当2＜x＜4时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为四边形GO′DF面积， 当x≥4时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为定值， y= 3 4 x2(0＜x≤2) - 3 4 x2+2 3 x-2 3 (2＜x＜4) 2 3 (x≥4) ．

据专家权威分析，试题“Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA，OB边所在的直线..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形