题文

已知：如图，正方形ABCD中，O是BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求证：G是DF中点； （3）若CE=1，求正方形ABCD的面积．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°， ∴∠BCD=∠DCF=90°， ∴∠DCF=90°=∠BCD， ∵在△BCD和△DCF中， BC=DC ∠BCD=∠DCF CE=CF ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）； （2）∵△BCE≌△DCF， ∴∠1=∠F， ∵∠BCD=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠F+∠2=90°， ∵D、G、F三点共线， ∴∠BGF+∠BGD=180°， ∴∠BGD=90°=∠BGF， ∵BE平分∠DBC， ∴∠3=∠2， ∵在△BDG和△BGF中， ∠3=∠2 BG=BG ∠BGD=∠BGF ， ∴△BDG≌△BGF（ASA）， ∴DG=FG， ∴G是DF的中点； （3）∵O是BD的中点，G是DF的中点， ∴OG= 1 2 BF， ∵∠BGD=90°，O是BD的中点， ∴OG= 1 2 BD，设正方形边长是x，则BF=BC+CF=BC+CE=x+1， ∴BD=x+1， ∵∠BCD=90°， ∴BC2+CD2=BD2，即x2+x2=（x+1）2， 解得x= 2 +1， ∴S正方形ABCD=x2=（ 2 +1）2=3+2 2 ．

据专家权威分析，试题“已知：如图，正方形ABCD中，O是BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，..”主要考查你对  三角形中位线定理，勾股定理，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理勾股定理正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：勾股定理

• 勾股定理:
  直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
  勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

• 定理作用
  ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
  ⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
  ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
  ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。