如图,直线AB分别x,y轴正半轴相交于A(a,0)和B(0,b),直线y=12x+3交于y轴与点E,交AB于点F(1)当a=6,b=6时,求四边形EOAF的面积(2)若F为线段AB的中点,且AB=45时,求证:∠B-数学

题文

如图,直线AB分别x,y轴正半轴相交于A(a,0)和B(0,b),直线y=
1
2
x+3交于y轴与点E,交AB于点F
(1)当a=6,b=6时,求四边形EOAF的面积
(2)若F为线段AB的中点,且AB=4

5
时,求证:∠BEF=∠BAO.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)y=
1
2
x+3,
当x=0时,y=3,
∴E(0,3),
设直线AB的解析式是y=kx+b,
把A(6,0),B(0,6)代入y=kx+b得:

0=6k+b
6=b

解得:

k=-1
b=6

∴直线AB的函数关系式是y=-x+6
直线EFy=
1
2
x+3和直线AB交于点F,方程组

y=
1
2
x+3
y=-x+6
的解是

x=2
y=4

∴F(2,4),
S四边形EOAF=S△OAB-S△EFB
=
1
2
×6×6-
1
2
×(6-3)×2,
=15.
所以四边形EOAF的面积是15.

(2)∵F为线段AB的中点,由三角形中位线定理得F(
1
2
a,
1
2
b),
又∵F在直线EF:y=
1
2
x+3上,
1
2
×
1
2
a+3=
1
2
b,
a=2b-12 ①
又∵AB=4

5

∴a2+b2=(4

5
)2,
∴(2b-12)2+b2=80,
整理得:5b2-48b+64=0,
解得b1=
8
5
,b2=8,
当b=
8
5
时,a<0,不合题意,∴b=
8
5
(舍去),
当b=8时,a=4
∴A(4,0)B(0,8),
∴OE=3,BE=5
连接EA,在RT△OAE中,OE=3,OA=4,
∴EA=5
∴EA=BE=5
∴△BEA是等腰三角形,
又∵F为线段AB的中点
∴EF⊥AB,
∴∠BEF=90°-∠EBF,
∠BAO=90°-∠OBA,
∵∠EBF=∠OBA
∴∠BEF=∠BAO.

据专家权威分析,试题“如图,直线AB分别x,y轴正半轴相交于A(a,0)和B(0,b),直线y=12..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式:
    先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用:
    应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
    (1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
    (2)注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
    第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
    第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
    第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
    第四步(写):写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题:
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    (1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
    (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用:

    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)

  • 一次函数应用常用公式:
    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
    (x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
    (x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
    (x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
    (x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
    10.
    y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
    y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)

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