题文

已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，⊙O1过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒 2 个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO1交y轴于E点，P、Q运动的时间为t（秒）． （1）直接写出E点的坐标和S△ABE的值； （2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O1有哪几种位置关系，并指出对应的运动时间t的范围； （3）当Q点运动在折线AD→DC上时，是否存在某一时刻t使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由题意知，A（-2，0），B（0，2）， ∴OB=OD=2， ∴O1（1，1）， 设AO1的直线的解析式为y=kx+b，则有0=-2k+b，1=k+b， 解得：b= 2 3 ，k= 1 3 ， ∴y= 1 3 x+ 2 3 ， ∴E（0， 2 3 ）， ∴BE= 4 3 ， S△ABE= 1 2 OA?BE= 4 3 ； （2）直线PQ与⊙O1有三种位置关系，分别是相离，相切，相交， 当PQ与⊙O1相离，0＜t＜1； 当PQ与⊙O1相切时，t=1或t=4； 当PQ与⊙O1相交时，4＞t＞1； （3）①Q点运动在折线AD上时，当点Q运动到原点，即Q（0，0）时，点P的坐标为（-1，1）， S△APQ=1，且满足S△APQ：S△ABE=3：4，此时t=1，直线PQ所对应的函数解析式y=-x． ②Q点运动在折线DC上时，P到了BA方向，根据已知得A（-2，0），B（0，2）， ∴OA=2，OB=2，AB=2 2 ，OD=OB=2， O1（1，1），此时P，Q的位置如图，过P作PM⊥AD于M，P运动的路程为 2 t， ∴PB= 2 t-AB= 2 t-2 2 ， ∴AP=AB-PB=4 2 - 2 t，而△APM为等腰直角三角形， ∴PM=AM=4-t，Q运动的路程为2t， ∴QD=2t-OA-OD=2t-4， 而S△APQ=S△APM+S四边形PMDQ-S△ADQ， S△APM+S四边形PMDQ= 1 2 ×PM×AM+ 1 2 (PM+QD)×MD=t2-4t+8， S△ADQ= 1 2 AD×QD=4t-8， ∴S△APQ=t2-8t+16，若S△APQ：S△ABE=3：4，而S△ABE= 4 3 ， ∴S△APQ=1， ∴1=t2-8t+16， ∴t=3或t=5，当t=5时，Q在BC上，不符合题意，舍去， ∴AM=1=PM， ∴OM=1，P（-1，1）， QD=2，∴Q在C点处， ∴Q（2，2）， 设直线PQ的函数解析式为y=kx+b， ∴ 1=-k+b 2=2k+b ， ∴k= 1 3 ，b= 4 3 ， ∴y= 1 3 x+ 4 3 ．

据专家权威分析，试题“已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，⊙O1过以OB为..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)