题文

如示意图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A是x轴的负半轴上一点，以AO为直径的⊙P经过点C（-8，4）．点E（m，n）在⊙P上，且-10＜m≤-5，n＜0，CE与x轴相交于点M，过C点作直线CN交x轴于点N，交⊙P于点F，使得△CMN是以MN为底的等腰三角形，经过E、F两点的直线与x轴相交于点Q． （1）求出点A的坐标； （2）当m=-5时，求图象经过E、Q两点的一次函数的解析式； （3）当点E（m，n）在⊙P上运动时，猜想∠OQE的大小会发生怎样的变化？请对你的猜想加以证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图1，过C点作CD⊥x轴于点K，与⊙P相交于点D， ∵AO为直径， ∴CK=KD，CK2=AK?KO， ∵点C的坐标为（-8，4）， ∴CK=4，OK=8， ∴42=AK?8， ∴AK=2， ∴AO=10， ∴点A的坐标为（-10，0）；（2分） （2）∵P（-5，0），K（-8，0）， ∴PK=3， 如图2，连接PD，PE， ∵m=-5，且P（-5，0）， ∴PE⊥x轴于P， 又∵点E（-5，n）中⊙，且n＜0， ∴点E的坐标为（-5，-5）， ∵△CMN是以MN为底的等腰三角形， ∴∠CNM=∠CMN， ∴∠FCD=∠ECD， ∴ FD = ED ∴PD⊥EF， ∴∠DPK=∠QEP， ∴Rt△KPD∽Rt△PEQ， ∴ PK EP = KD PQ ， 即 3 5 = 4 PQ ， ∴PQ= 20 3 ， ∴OQ=OQ+PQ=5+ 20 3 = 35 3 ， ∴点Q的坐标为(- 35 3 ，0)， 设图象经过E、Q两点的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴ -5=-5k+b 0=- 35 3 k+b ， 解得 k=- 3 4 b= 35 4 ， ∴一次函数的解析式为y=- 3 4 x- 35 4 ；（5分） （3）猜想：当点E在⊙P上运动时，∠OQE的大小始终保持不变，（6分） 证明：因为-10＜m≤-5，n＜0，可知点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合）， 如图，在⊙P的四分之一的圆上任取一点E（点E不与点A、点D重合），连接PD，过点E作EH⊥x轴于点H， ∵∠CNM=∠CMN， ∴∠FCD=∠ECD， ∴ FD = ED ， ∴PD⊥EF， ∴∠OQE=∠PDK， ∵∠PDK的大小始终不变， ∴∠OQE的大小始终不变， 综上所述，当点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合）时，∠OQE的大小始终不变．（8分） （注：其他解法酌情给分）

据专家权威分析，试题“如示意图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A是x轴的负半轴上..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)