题文

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b= a2-4 + 4-a2 +16 a+2 ． （1）求直线AB的解析式； （2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值． （3）如图3过点A的直线y=kx-2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过N点的直线y= k 2 x- k 2 交AP于点M，给出两个结论：① PM+PN NM 的值是不变；② PM-PN AM 的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）要使b= a2-4 + 4-a2 +16 a+2 有意义， 必须a2-4≥0，4-a2≥0，a+2≠0， ∴a=2， 代入得：b=4， ∴A（2，0），B（0，4）， 设直线AB的解析式是y=kx+b， 代入得： 0=2k+b 4=b ， 解得：k=-2，b=4， ∴函数解析式为：y=-2x+4， 答：直线AB的解析式是y=-2x+4． （2）如图2，分三种情况： ①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N， ∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA， ∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°， ∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°， ∴∠ABO=∠NMB， 在△BMN和△ABO中 ∠MNB=∠BOA ∠NMB=∠ABO BM=AB ， ∴△BMN≌△ABO（AAS）， MN=OB=4，BN=OA=2， ∴ON=2+4=6， ∴M的坐标为（4，6）， 代入y=mx得：m= 3 2 ， ②如图2 当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m= 1 3 ， ③如图4， 当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN， ∴MN=MH， 设M（x，x）代入y=mx得：x=mx， ∴m=1， 答：m的值是 3 2 或 1 3 或1． （3）如图3，结论2是正确的且定值为2， 设NM与x轴的交点为H，过M作MG⊥x轴于G，过H作HD⊥x轴，HD交MP于D点，连接ND， 由y= k 2 x- k 2 与x轴交于H点， ∴H（1，0）， 由y= k 2 x- k 2 与y=kx-2k交于M点， ∴M（3，k）， 而A（2，0）， ∴A为HG的中点， ∴△AMG≌△ADH（ASA）， 又因为N点的横坐标为-1，且在y= k 2 x- k 2 上， ∴可得N的纵坐标为-k，同理P的纵坐标为-2k， ∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1 ∴N与D关于y轴对称， ∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC， ∴PN=PD=AD=AM， ∴ PM-PN AM =2．

据专家权威分析，试题“如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b=a2-..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)