题文

如图，直线y=kx+b交反比例函数y= 8 3 x 的图象于点A（4，m）和点B，交x轴于点C，交y轴于点E（0，-2 3 ） （1）求C点的坐标； （2）在y轴上是否存在点D使CD=DA？若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由； （3）取C点关于y轴的对称点F，连EF，点P为△CEF外一点，连PE，PF，PC，当P在△CEF外运动时，若∠EPF=30°，有两个结论：①PE2+PF2=PC2②PE+PF=PC+EF，其中只有一个结论正确，作选择并证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵点A（4，m）在反比例函数y= 8 3 x 的图象上， ∴m= 8 3 4 =2 3 ， ∴点A的坐标为（4，2 3 ）， ∵点A（4，2 3 ），点E（0，-2 3 ）都在直线y=kx+b上， ∴ 4k+b=2 3 b=-2 3 ， 解得 k= 3 b=-2 3 ， ∴直线解析式为y= 3 x-2 3 ， 令y=0，则 3 x-2 3 =0， 解得x=2， ∴点C的坐标为（2，0）； （2）y轴上存在点D（0，2 3 ），使CD=DA． 理由如下：设点D的坐标为（0，y）， 则CD= (2-0)2+(0-y)2 ， AD= (4-0)2+(2 3 -y)2 ， ∵CD=DA， ∴ (2-0)2+(0-y)2 = (4-0)2+(2 3 -y)2 ， 两边平方并整理得，4 3 y-24=0， 解得y=2 3 ， ∴y轴上存在点D（0，2 3 ），使CD=DA； （3）结论①PE2+PF2=PC2正确． 理由如下：∵点C坐标为（2，0），点E坐标为（0，-2 3 ）， ∴CE= CO2+OE2 = 22+(2 3 )2 =4，tan∠ECO= OE OC = 2 3 2 = 3 ， ∴∠ECO=60°， 又∵点F、C关于y轴对称， ∴FC=2+2=4， ∴FC=CE， ∴△CEF是等边三角形， 如图，把△PCE绕点C顺时针旋转60°得到△P′C′E，连接PP′， 则点E与点F重合，△PP′C为等边三角形， 根据三角形的外角性质，∠PFP′=∠CPF+∠CP′E′+∠PCP′， =∠CPF+∠CPE+∠PCP′ =∠EPF+∠PCP′， ∵∠EPF=30°， ∴∠PFP′=30°+60°=90°， ∴△PFP′是直角三角形， 即P′E′2+PF2=PP′2， ∴PE2+PF2=PC2． 故结论①正确，结论②错误．

据专家权威分析，试题“如图，直线y=kx+b交反比例函数y=83x的图象于点A（4，m）和点B，交x..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。