题文

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E． （1）连接AP，求证：S△APD= 1 2 S矩形ABCD； （2）设DP=y，AE=x，求y与x之间函数关系式； （3）写出自变量x的取值范围，并求出y的最大值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B=∠C=90°，AB=CD（1分） ∵S△APD=S矩形ABCD-S△ABP-S△DPC=AB?BC- 1 2 BP?AB- 1 2 PC?DC =AB?BC- 1 2 （BP+PC）AB =AB?BC- 1 2 BC?AB = 1 2 AB?BC（3分） 又∵S矩形ABCD=AB?BC ∴S△APD= 1 2 S矩形ABCD（4分）； （2）∵AE⊥PD ∴S△APD= 1 2 PD?AE（5分） 由（1）可知S△APD= 1 2 S矩形ABCD= 1 2 ×3×4=6（6分） ∴ 1 2 xy=6 y= 12 x （7分）； （3）当B，P重合时x最短为： 12 5 ，当P，C重合时，x最长为4， 则自变量x的取值范围： 12 5 ≤x≤4（10分） ∵在第一象限内，y随x的增大而减小， ∴当x= 12 5 时，y最大=5（12分）．

据专家权威分析，试题“如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。