题文

如图，设直线l2：y=-2x+8与x轴相交于点N，与直线l1相交于点E（1，a），双曲线y= k x （x＞0）经过点E，且与直线l1相交于另一点F（9， 2 3 ）． （1）求双曲线解析式及直线l1的解析式； （2）点P在直线l1上，过点F向y轴作垂线，垂足为点B，交直线l2于点H，过点P向x轴作垂线，垂足为点D，与FB交于点C． ①请直接写出当线段PH与线段PN的差最大时点P的坐标； ②当以P、B、C三点为顶点的三角形与△AMO相似时，求点P的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵双曲线y= k x （x＞0）经过点E（1，a）和点F（9， 2 3 ）， ∴ a=k 2 3 = k 9 ， 解得 a=6 k=6 ， ∴双曲线的解析为：y= 6 x ，点E（1，6）． 设直线l1的解析式为y=kx+b（k≠0）． 把点E、F的坐标分别代入，得 k+b=6 9k+b= 2 3 ， 解得 k=- 2 3 b= 20 3 ， 则直线l1的解析式为y=- 2 3 x+ 20 3 ； 综上所述，双曲线解析式及直线l1的解析式分别是：y= 6 x 和y=- 2 3 x+ 20 3 ； （2）①当点P、H、N共线时，线段PH与线段PN的差最大，此时，点P与点E重合，即P（1，6）； ②设P（x，y）（x＞0）． ∵直线l1的解析式为y=- 2 3 x+ 20 3 ， ∴AO= 20 3 ，OM=10， ∴如图，在直角△AOM中，由勾股定理得到：AM= OA2+OM2 = ( 20 3 )2+102 = 10 13 3 ． 易求PC=- 2 3 x+ 18 3 ． i）当△PBC∽△AMO时， BC MO = PC AO ，即 x 10 = - 2 3 x+ 18 3 20 3 ，解得x= 9 2 ，则y=- 2 3 × 9 2 + 20 3 = 11 3 ，故P（ 9 2 ， 11 3 ）； ii）当△PBC∽△MAO时， BC AO = PC MO ，即 x 20 3 = - 2 3 x+ 18 3 10 ，解得x= 36 13 ，则y=- 2 3 × 36 13 + 20 3 = 188 39 ，故P（ 36 13 ， 188 39 ）． 综上所述，符合条件的点P的坐标是P（ 9 2 ， 11 3 ）或（ 36 13 ， 188 39 ）．

据专家权威分析，试题“如图，设直线l2：y=-2x+8与x轴相交于点N，与直线l1相交于点E（1，a..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。