题文

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且点P（-1，-2）为双曲线上的一点，过P作PA垂直x轴于点A： （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）若点Q为直线MO上一动点（不与点M、O重合），过点Q作QB⊥y轴于点B，是否存在点Q，使△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在平面内找一点C，使以O、P、C、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出C点坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设反比例函数的解析式为y= k x （k≠0），正比例函数的解析式为y=k′x． ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1）， ∴-1= k -2 ，-1=-2k′， ∴k=2，k′= 1 2 ． ∴正比例函数的解析式为y= 1 2 x，反比例函数的解析式为y= 2 x ． （2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x， 1 2 x），使得△OBQ与△OAP面积相等，则B（0， 1 2 x）． ∵S△OBQ=S△OAP， ∴ 1 2 ?x× 1 2 x= 1 2 ×2×1， 解得x=±2． 当x=2时， 1 2 x=1； 当x=-2时， 1 2 x=-1． 故在直线MO上存在这样的点Q（2，1）或（-2，-1），使得△OBQ与△OAP面积相等． （3）如图所示：当四边形OPCQ是平行四边形， ∵P（-1，-2），Q（2，1）， ∴C点坐标为；（1，-1）， 当四边形OPQ′C′是平行四边形， ∵P（-1，-2），Q′（-2，-1）， ∴C′点坐标为；（-1，1）， 综上所述：使以O、P、C、Q为顶点的四边形为平行四边形，C点坐标为：（-1，1），（1，-1）．

据专家权威分析，试题“如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且点..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。