我国分别于2007年10月24日和2010年10月1日成功发射“嫦娥一号”和“嫦娥二号”月球探测卫星,标志着我国实施绕月探测工程迈出重要一步,在政治、经济、军事、科技乃至文化领域都

◎ 题目

我国分别于2007年10月24日和2010年10月1日成功发射“嫦娥一号”和“嫦娥二号”月球探测卫星,标志着我国实施绕月探测工程迈出重要一步,在政治、经济、军事、科技乃至文化领域都具有非常重大的意义,同学们也对月球有了更多的关注.
(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动,试求出月球绕地球运动的轨道半径r1
(2)若将来我国的宇航员随登月飞船登陆月球后,宇航员在月球表面完成下面实验:在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球(可视为质点)如图所示,现给小球一瞬间水平速度V,小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动.已知圆弧轨道半径为r,月球的半径为RO,万有引力常量为G,试求出月球的质量M
魔方格

◎ 答案

(1)月球绕地球运转,万有引力定律提供向心力:
G
MM
r12
=M(
T
)2r1

对地球表面物体m:G
Mm
R2
=mg

联立①②解得:r1=
3
gR2T2
4π2


(2)设月球表面重力加速度为g1,小球在最高点的速度为v1,由机械能守恒定律,小球在从最低点到最高点的过程中,有:
1
2
mV2=2mg1r+
1
2
m
V21

由题意,小球在最高点时,有:mg1=m
V21
r

联立③④解得:g1=
V2
5r

G
Mm
R02
=mg1

联立⑤⑥解得:M=
R20
V2
5Gr

答:(1)月球绕地球运动的轨道半径r1
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