□杭州市卖鱼桥小学 许立伟

小学阶段众多思想方法中，极限思想属于比较抽象难理解的，但图形中的极限思想对于小学生却相对容易接受和理解。

《圆的面积》一课就是典型的通过极限思想进行图形面积教学的一节课。如何让小学生走进极限，正确认识极限，笔者以《圆的面积》一课为例，谈谈思考。

一、借助化曲为直——体会极限思想

由于小学生的生活经验、数学知识还比较贫乏，而极限思想又很抽象，难以理解，教学时只能通过一些具体的图像，想象它们的最终结果。在体会极限思想时，认识“圆和转化后的图形面积近似相等”。这里的“转化”有两层意思：一是面积的转化，二是形状的转化。学生往往把两者混淆起来，因为对形状的极限认识不到位，导致认为面积也是近似相等。

在教学过程中，教师可以将多次转化的图形进行对比，均分4等份、8等份、16等份、32等份拼成的图形，让学生认识到不变的是面积，变化的是形状。继而进一步追问：为什么均分的份数要越来越多？这样做的目的是让圆形最终转化成和它面积“一样”的直边图形。化曲为直就是一种理解极限思想的形式。

二、感受变化趋势——分割份数不固定

授课完毕后，笔者对学生进行了访谈：“你觉得把一个圆分成多少等份比较好？”选项有8等份、16等份、32等份、64等份……以下是两种不同选法学生的想法：选择“分得越多越好”的学生是想让转化后的图形越来越接近已学过的直边图形，分得越来越多的过程就是份数“无限”放大的过程，这体现了极限思想；选择16等份的学生则觉得方便，容易计算。

确实有教师从验证的角度出发，提供给学生固定的16等份的小扇形拼平行四边形，以验证圆面积计算公式，导致学生觉得把一个圆均分成16等份就好。包括教材，比如人教版、苏教版等都是采用16等份的小扇形作为范例来拼图，这样是为了操作方便，但也造成一部分学生的片面理解。

教师在教学中较好的做法是：除了16等份，可借助课件演示不同份数的分法，32等份、64等份、128等份，当课件无法演示更多份数时，教师适时引导学生想象份数越来越多会是什么样，然后让学生在观察图形的变化中体会圆通过无限次的分割拼接、逼近并转化成长方形。这样操作的依据便是极限思想，体现的方法就是在小范围内“化曲为直”，所用的思想就是极限思想。

另一种好做法是：当圆均分16等份拼成平行四边形后，大家都认为圆的面积和平行四边形的面积相等时，教师可以追问：这个“平行四边形”的边可不是直的，而是由一条一条的小弧线组成的，这真的是平行四边形吗？让学生体会到，这个平行四边形就是一个过程，当等分的份数越多，弧线越接近直线段，当把圆等分成无数份时，拼出的图形就是平行四边形了。教师在此可以花一点时间进行衔接和辨析理解，把过程指向结果，促使学生对极限的理解。

三、一脉相承——整体中认识极限

《圆的面积》一课应该从面积的整体教学中来进行思考；《圆的面积》是“圆”这个单元中的一课，应该从单元整体教学中来构建极限思想。要让学生知其然，更知其所以然。

圆是常见的基本的平面图形之一，圆面积也是小学阶段面积教学的收官之课，它和之前学过的面积在意义上有着本质的关联，比如面积的特性，具有不变性、可加性，面积学习中的转化方法，应该要一脉相承让学生对面积的学习建构起完整的知识体系。课堂教学中如何体现？在探究圆面积计算公式时，可以复习铺垫之前面积的学习方法。

作为“圆”这一单元中的一组课，圆的认识、圆的周长的教学，是否都可以渗透极限思想？《圆的认识》一课中，可以从圆与正多边形之间的关系展开，圆之美是因为“一中同长”也，回顾已学的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形，最后是正三十二边形、正一百边形，然后让学生想象，如果是正一千边形、正一万边形、正一亿边形，依次类推，直至无穷无尽，它就是——圆。学生在观看课件的同时，逐步理解正多边形随着边数的增多逐渐“无限地逼近”一个圆，这就是极限思想，在具体的情境中理解“无限地逼近”的含义。

教师在教授圆的周长一课时，就如何测量圆周曲边的长度，可以引导学生用圆形物体在直尺上滚一周，或者用直线绕圆一周，“曲”就可以化为“直”；这反映了曲直之间的关系。从具体操作上讲“化曲为直”的方法是多样的，这为极限思想的深入学习搭好脚手架 。

《圆的面积》教学中，教师把圆内接或外切正多边形的面积看作一个变量，圆面积是一个常量。圆面积紧接后面的是圆与方，两者可以相互转化，是有限与无限的对立统一关系，是对前面圆和方的总结。因此整个单元处处关系到极限思想和教学整体构建，可以产生1+1＞2的效果。

圆是最基本的平面图形之一，它是由“直”到“曲”，数学思想从“有限”进入“无限”的一次飞跃。圆的面积计算公式需要根据拼成的几个图形的变化趋势想象它们的终极状态，就像刘徽割圆术中所说的：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。