“核心素养”是当前教育的热点问题。从今天起草根将围绕“数学核心素养”连载一批优秀的文章，供大家参考学习……

作者简介：刘祖希，1980年生，湖北仙桃人，副编审，上海教育出版社策划部主任，《新青年教师文库(数学卷)》主编，全国新青年数学教师工作室主持人，中国教育学会青少年创新思维教育研究中心第一届理事会理事，主要从事数学教育研究、数学教材与数学教育图书出版研究。

本文发表于人教社《中小学教材教学》杂志2016年第7期

我国数学核心素养研究进展从“数学素养”到“数学核心词”，再到“数学核心素养”“核心素养”被誉为当代基础教育的DNA。未来基础教育的顶层理念是强化学生的核心素养。近几年来，国际上兴起了有关“核心素养”研究的潮流，中国教育部也十分重视，正在组织专家进行这方面的研究和界定。一国内关于“核心素养”的研究进展国内关于“核心素养”的研究工作正在有条不紊地展开……1提出“核心素养”的概念和研究任务 2014年3月，教育部印发了《关于全面深化课程改革、落实立德树人根本任务的意见》，明确给出了“核心素养”的概念——“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，并提出了“将组织研究提出各学段学生发展核心素养体系”的任务。《意见》还把“核心素养”作为各学科课程目标和教学要求的重要依据：“依据学生发展核心素养体系，进一步明确各学段、各学科具体的育人目标和任务，完善高校和中小学课程教学有关标准”、“根据核心素养体系，明确学生完成不同学段、不同年级、不同学科学习内容后应该达到的程度要求”。
华东师范大学钟启泉教授认为，“核心素养”赋予了传统的“基础素养”以新时代的内涵；核心素养是对当今时代公民素养的高度概括；核心素养的提出和界定，有助于明确我国基础教育的功能定位。
“核心素养”就此成为我国教育领域最受关注的热词之一。甚至有人认为“核心素养”是新课标的“源头”，是中高考评价的“核心”，也是未来教育改革的关键和课程改革的核心。2制订学生发展核心素养体系 2016年2月，中国教育学会发布《中国学生发展核心素养(征求意见稿)》，向教育界人士广泛地征求意见和建议。意见稿重申了上述“核心素养”的概念并给出了“核心素养”的9个指标：“学生发展核心素养，是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，综合表现为9大素养，具体为社会责任、国家认同、国际理解；人文底蕴、科学精神、审美情趣；身心健康、学会学习、实践创新。”
华东师范大学王斌华教授指出，核心素养基于布鲁姆的目标分类法，它的合成要素或者组合要素还是我们原来强调的知识、技能与态度；核心素养居统领地位，高于各门学科的课程标准或教学大纲，对所有学科具有导向作用；核心素养的原意是关键能力(key competence)，强调的是“关键”和“少数”，要避免“核心素养是个筐，青菜萝卜往里装”的大拼盘或大杂烩的倾向。这对我们研究各学科的“核心素养”有很好的指导意义。
上面两个国家层面的文件表明，我国的核心素养体系采取了“学生发展核心素养”与“学科核心素养”双线并行的模式，且“学生发展核心素养”居于上位。正是基于这样一种理解，宁波大学邵光华教授在2016年5月全国数学教育研究生论坛(苏州)上指出，“数学核心素养”对“学生发展核心素养”的“贡献度”将是一项值得研究的重要课题。二国内关于“数学核心素养”研究进展国内关于“数学核心素养”的研究，有一个较长的“孵化”期，大致经历了从“数学素养”到“数学核心词”、再到“数学核心素养”的过程。1数学素养 数学素养是当今社会公民必备的基本素养，“数学素养”与“阅读素养”、“科学素养”并列成为PISA测试的三大领域。21世纪的头十年间，我国多个版本的数学教学大纲、课程标准均有关于“数学素养”的表述。
2000年版初中、高中数学教学大纲首次以国家文件的方式提出“数学素养”这一概念，并将“思维能力、运算能力、空间想象能力(空间观念)、解决实际问题的能力、创新意识、良好的个性品质和辩证唯物主义观点”纳入“数学素养”范畴。可见我国数学教育传统的“三大能力”(“思维能力、运算能力、空间想象能力”)构成“数学素养”的主体。
2002年版《全日制普通高级中学数学教学大纲》指出“使学生在高中阶段继续受到教育，提高数学素养”，“努力培养学生数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断”。作为承前(教学大纲)启后(课程标准) 的过渡性大纲， 2002年版高中数学教学大纲在传统“三大能力”基础上新增了“直觉猜想、归纳抽象、符号表示、演绎证明”等能力要素，并试图用“思维能力”涵盖这些“数学素养”。
虽然2001年版《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》没有出现有关“数学素养”的表述，但2003年版《普通高中数学课程标准(实验稿)》、2004年版《上海市中小学数学课程标准(试行稿)》均指出，高中数学课程的总目标是：在九年义务教育数学课程的基础上，使学生获得作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。不难看出，对“数学素养”所作的“必要的”“满足个人发展”“社会进步的需要”等描述，已经接近今天所给出的“核心素养”概念。两份课程标准还指出了要“提高空间想象、抽象概括、运算求解、数据处理等基本能力”，这些能力正是“数学素养”的组成要素。
国内对数学素养的研究主要集中在数学素养的内涵、构成要素、培养策略、评价、教师数学素养等方面。这无疑为我们研究数学核心素养提供了借鉴。2数学核心词 《义务教育数学课程标准(2011年版)》首次出现了“核心词”的提法：“本标准在设计思路中提出了几个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，以及应用意识和创新意识，它们是义务教育阶段数学课程内容的核心，也是教材的主线。”并指出“在设计试题时，应该关注并且体现”这几个核心词。原2001年版《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的提法则是：“课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念、以及应用意识与推理能力。”可以看出，2011年版课标不仅明确提出了“核心词”的概念，而且将2001年版的6个核心词发展到了10个。重庆师范大学黄翔教授对10个核心词作了理论解析，上海特级教师曹培英对10个核心词进行了“实践解读”，都很有启发性。
值得指出的是，“数学课程标准研制组”撰写的两部解读课程标准的专著都将“数感”等“核心词”称为“核心概念”，读者需注意与数学具体内容中的“核心概念”(如“方程”、“函数”)区别开来，以免混淆。
《义务教育数学课程标准(2011年版)》乍一公布，黄翔教授就敏锐地指出：“可以认为，它们(指10个核心词)是学生在义务教育阶段数学课程中应该通过培养得以发展的数学素养的核心要素，也是促进学生发展的重要方面.”但“核心词”与“核心素养”还有多大差距？
东北师范大学史宁中教授指出，“在原来(2001年版)课标的基础上，(2011年版课标)更加明确并且界定了十个关键词，用现在的话语体系，就是明确提出并界定了十个核心素养。这十个关键词是数学基本思想(抽象、推理、模型)在义务教育阶段的具体体现，比如，数感、符号意识就是针对抽象的。”东北师范大学马云鹏教授认为，把这10个核心词称为数学核心素养是恰当的，一方面是由于这些表述是数学知识技能上位的东西，与数学能力相关，但又不限于数学能力，很大程度上反映了数学思想；另一方面，核心素养是近年来关注较多的一个问题，用核心素养描述这些表述要比核心词和核心概念更贴切，更符合这些表述所反映的实质。曹培英则认为，将核心词直接改为核心素养未免过于简单；数学的核心素养，必须体现数学学科的本质，必须具有一般意义，必须承载独特的学科育人价值。三数学核心素养1数学核心素养的概念 依据《关于全面深化课程改革、落实立德树人根本任务的意见》及《中国学生发展核心素养(征求意见稿)》给出的核心素养的概念，并结合数学学科特点，即将发布的《普通高中数学课程标准(修订稿)》这样描述数学核心素养：数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，它是数学课程目标的集中体现，它是在数学学习的过程中逐步形成的。2数学核心素养体系 基于《义务教育数学课程标准(2011年版)》给出的10个核心词，曹培英构建了一个 “数学核心素养”体系(如下图)。在这个三棱台结构体系中，第一层次的三个核心素养整体作用于第二层次的核心素养，因此无需一一连线表示它们之间的关系。这个体系包括6种数学“核心素养”，除对应《义务教育数学课程标准(2011年版)》所述10个核心词中的9个(其中有4组核心词同属一种“核心素养”)之外，还增加了“抽象”。曹培英解释说，尽管“抽象”不在核心词之列，但是它在数学学科与小学数学教学中的核心价值、核心地位是无人质疑的。可以看出，6种数学“核心素养”是9个数学“核心词”聚类分析的结果。另外，在2015年11月举办的第五届基础教育改革与发展论坛上，教育部基础教育课程教材发展中心副主任刘月霞在报告中描绘了数学学科素养的构成：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。她还做了进一步解释：用数学的眼光观察现实世界，发展数学抽象、直观想象素养；用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养；用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养。这与《普通高中数学课程标准(修订稿)》的表述是一致的。
不难看出，上述两个数学核心素养体系基本一致，都是基于史宁中教授提出的数学基本思想(抽象、推理、模型) 构建的，其中数学基本思想(抽象、推理、模型)是高层级的数学核心素养，数学的基本能力(运算能力、直观想象能力、数据分析能力)是次层级的数学核心素养。3数学核心素养的特征 马云鹏认为，数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力。数学核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性的特征。综合性是指数学核心素养是数学基础知识、基本能力、数学思考和数学态度等的综合表现。数学基础知识和基本能力可以看作数学核心素养的外显表现。数学思考与数学态度作为数学核心素养的内隐特质。阶段性是指学生的数学核心素养表现为不同层次水平、不同阶段。持久性是指数学核心素养的培养不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，还是伴随学生进一步学习，以及将来走向生活和工作的历程。
华东师范大学张奠宙教授认为，通俗地说，数学的核心素养有“真、善、美”三个维度：(1)理解理性数学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性、精确性；(2)具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力；(3)能够欣赏数学智慧之美，喜欢数学，热爱数学。不妨就一个人文学科的学者（例如从事新闻、出版、法律、外语、中文、历史等专业）来说，他们的数学素养也许就是在高中学段形成的（到大学不学数学了）。对他们来说，在数学能力上要求不可过高，但是却必须具备现代的数学文化修养，能够欣赏数学美，理解数学文明，以便在记者采访、外语翻译、小说创作、历史考察等的职业生涯中，能够应对许多与数学文化有关的常识性问题，并与他人进行基本的数学交流与探究。4基于数学核心素养的数学课程目标 《关于全面深化课程改革、落实立德树人根本任务的意见》要求“依据学生发展核心素养体系，进一步明确各学段、各学科具体的育人目标和任务，完善高校和中小学课程教学有关标准”。基于数学核心素养的数学课程目标应该是，通过数学课程的学习，提升学生作为现代社会公民所应具备的数学素养，促进学生自主、全面、可持续地发展。具体来说：
(1)获得进一步学习以及未来发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验(“四基”)；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(“四能”)。