《广猛说题系列之路径专题》(第四集)
1.知识储备:
(1)同弧所对的圆周角处处相等,并且等于其所对的圆心角的一半,如下图(左)所示.
值得一提的是,此图中有两个特殊的圆周角应引起同学们的关注,即∠C与∠D,它们都有一边过圆心O,从而又会产生“直径所对的圆周角为直角”这个基本图形,这两个特殊的圆周角会在后续有大用;
(2)圆的内接四边形对角互补,如下图(右)所示.
(3)拓展知识:同弧所对的“圆内角”>“圆周角”>“圆外角”,如下图(左)所示;而证明思路如下图(右)所示,其中还用到了三角形的外角模型,不再详述.
而当∠P为直角时,即为“定边对直角模型”,其轨迹为整个圆,不再赘述.
点P的轨迹之所以是一段圆弧,可以用知识储备1与2的联想,结合拓展知识,利用反证法严格推理,不再详述,称之为“定边对定角”模型!
3.确定圆心:
下面提供两种“定边对定角”模型中轨迹圆(弧)圆心的精确作图法,供同学们参考,可选中一个自个儿喜欢的方式.
方法一(联想“同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半”来确定圆心):
依据∠P的大小,要分两种情形进行考虑:
情形一:当定角∠P为锐角时,如下图所示,不妨设定边AB长为2a;
先取AB的中点G,过点G作定边AB的垂线,并于点P的同侧,在该垂线上选取点O,使∠AOG=∠P,则点O即为所要寻找的圆心;
方法二(联想“同弧所对的圆周角处处相等”,选取其一边过圆心的特殊圆周角来确定圆心):
依然依据∠P的大小,要分两种情形进行考虑:
情形一:当定角∠P为锐角时,如下图所示,不妨设定边AB长为2a;
先过点B作定边AB的垂线,并于点P的同侧,在该垂线上选取点Q,使∠Q=∠P,则AQ的中点O即为所要寻找的圆心,AQ即为相应的直径;
至此,“定边对定角”模型已全面建立,包括轨迹圆弧及其圆心的确定方法也已全盘托出,讲解比较细致,可能稍显啰嗦,但若同学们真的把握上述每一步的过程,则根基必然扎实稳固,只要在具体的实战中能灵活运用,必将手到擒来.
4.模型应用:
万事俱备,只欠实战,下面提供一些可以用“定边对定角”模型解决的经典案例.
例14.如图14所示,已知AB=6,点C为动点,且始终有∠C=45°,求动点C的轨迹长.
解题后反思:在实际操作中,可以像上面的解答那样,先随手画出目标动点所在的轨迹圆(弧),然后在大致取其圆心,再导角导边即可,笔者戏称此过程为“大老粗”做法,只要画出草图即可,先画圆(弧),再找圆心,这可以大大地提高实践效率,迅速算出所需答案;
但其实我们清楚,这并不符合基本的精确画图原理,按道理应该先找圆心,才能准确画出圆来,若真如此,可以按照前面介绍的两种确定圆心的方法找出圆心,如图14-3至图14-6所示,不再详述,笔者戏称此过程为“细女子”做法,它更能体现出我们作为“数学人”思维的严谨性与准确性.
下面给出此例的几个相关变式,旨在让同学们巩固模型,以便熟练应用模型.
变式1:如图14-7所示,已知AB=6,点C为动点,且始终有∠C=60°,求动点C的轨迹长.
变式2:如图14-10所示,已知AB=6,点C为动点,且始终有∠C=90°,求动点C的轨迹长.
简析:此处有陷阱,需格外小心,点C的轨迹是整个圆,而非一段圆弧啦!
因为定角∠C=90°,所以此题是“定边对定角”模型的特例,即“定边对直角”模型,易知目标动点C的轨迹为整个以AB为直径的圆,如图14-11所示,易求得此时动点C的轨迹长为6
π ,问题得解;
变式3:如图14-12所示,已知AB=6,点C为动点,且始终有∠C=120°,求动点C的轨迹长.
解题后反思:同学们还可以继续自个儿变式,如将∠C改为150°等,甚至于将∠C改为定角去推导更一般的结论,当然这里要分为锐角、直角或钝角三种情形去讨论,更能体现同学们的逻辑分析能力以及模型应用技能,不再赘述!
通过例14以及相关变式的探究,我们加深了“定边对定角”模型的应用意识与能力,体会到了定角为锐角时,对应的轨迹为一段优弧;而当定角为直角时,对应的轨迹是一个整圆;当定角为钝角时,对应的轨迹是一段劣弧!这个结论,大家可以形成感性认知,以便应用更熟练!
上面的例题属于模型的直接考察,大多考题会在定角的推导上设置门槛,需要同学们形成主动寻找定角及定边的意识与能力,下面再举几例,同学们可以用心体悟!
未完待续,敬请期待!
(第四集完!)
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