原创2018北京中考数学试题深度解析

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今天上午北京中考来开帷幕。令人翘首以盼的数学考试也在下午结束。这次中考改革涉及到的教学的各个方面,其中的数学试卷也有较大的变动,无论是试题的分值、题型设计,还是具体的命题形式,都有幅度不一的变化。

选择题

今年选择题是8道题,每题2分,一共16分。2016年和2017年都是10道题,每题3分,再往前一直到2007年的课标试卷,都是8道题,每题4分。可以看出,选择题的分值只有之前的一半。

1. 三视图,开篇第一题,2016年考察的是量角器读角度,2017年是“垂线段最短”的选择题。

2. 数轴与实数的对应关系,及其应用,从2015年开始出现这样的考察形式,基本固定。

3. 一元二次方程组的求解。这是新出现的题型。

4. 科学计数法,“中国天眼”总面积的计算,2016年有考察,2017年没有考察。区别在于,今年的题目需要进行简单的计算,而不是往常那样单纯的考察科学计数法。

5. 已知正多边形的一个外角,反求内角和,常规考题。

6. 代数式的化简求值,常规考题。2016和2017年都在选择题出现,2015年出现在解答题中。

7. 二次函数图象的读图问题。这样的题目在海淀模拟和北京高考试题中曾有出现。属于考察二次函数对称性的“好题”。

关于这道题目的解析,读者可以参阅下面链接进行深入阅读:

解析之一:2016年11月海淀初三期中数学选择题

8. 平面直角坐标系,区别在于增加了逻辑推理的内容,难度在于认为的设计了四个相互独立的选项,不足之处在于每个选项的分析方法又完全雷同。

选择题比较明显的变化在于增加了将二元一次方程组,没有考察中心对称与轴对称这一类题目,科学计数法又需要进行简单的计算。二次函数图象深刻理解也需要高度重视。

填空题

今年填空题共有8道题,每题2分,一共16分。2017和2016填空题都是6道题,每题3分;再往前,一直到2007年,填空题都是4道题,每题4分,一共6分。填空题的分值也和选择题一样只有之前的一半。

9. 网格图中角度比较大小,属于创新题型,既可以通过几何直观进行判断,也可以通过逻辑分析得出结论。

10. 二次根式有意义,常规题型。

11. 不等式性质的应用,开放性题目,也算是常规题型。

12. 圆中角度推导,常规题目。

13. 矩形线段计算,常规题目,相似应用。相似的应用多数情况下是以计算物体的高度、宽度出现。

14. 数据的分析和应用。属“阅读理解”类型,需要高度重视此类题目,会是命题的方向。

15. 方案设计题目。不过,觉得此题在理解时会产生歧义,“每人划船的时间均为1小时”——到底是每人乘坐“划船”的时间为1小时?还是每人划桨的时间为1小时?根据字面意思,可以理解为每人划船的动作为1小时,那么因为每条船设计的船桨数量不同可能导致理解有误,比如六人船,是船上的六个人都划船,还是只有一个人划船?

我的建议是,在考试时,可以按照“每人乘坐划船的时间为1小时”来分析,待考试院答案出来后可见分晓。

16. 散点图类型的题目在北京高考中曾出现过一道与此题很类似的题目,即2015年北京高考文科试题。

具体到本题分分析,可以借助下图中的辅助线进行,难度不大。

解答题

17. 尺规作图的填空题,这类题目在刚开始学习几何(图形认识初步、相交线与平行线)时,是重点类型,之前的中考题在填空最后一题进行考察,对于《考试说明》规定的尺规作图的类型,在各城区的模拟试题中,几乎考察了个遍,今年挪到解答题第一题的位置,同时,以填空的形式出现,使得题目不再局限于作图依据的考察,还更加重视了分析的过程。

18. 混合运算,常规题型。

19. 解二元一次不等式组,均是大于号,均不含等号。选择题中有了二元一次方程组,在这里再考一个二元一次不等式组?

20. 一元二次方程,两个小问题,重点考察判别式的理解和应用,值得注意的是,本题出现了两个参数a,b。

21. 四边形的小综合题目,两个问题,第一问菱形的证明,第二问线段长的计算。难度很小,与平时的模拟试题相比,属于容易题。

22. 圆的证明与计算。切线长模型的应用,第二问在进行线段长度计算时,需要通过角度推导的得出特殊角30°,难度不大。

17题到22题,每题都是5分,一共30分。23题到26题,每题6分。

23. 一次函数与反比例函数的综合题,题号位置后置,放在了圆的综合题之后,暗示难度也有增加。事实上,本题的思维容量较往年的同类型题目有所增加,这个趋势在今年的模式试题中已经有所体现,并不意外。

本题依然是借助对一次函数与反比例函数分析,考察数形结合与分类讨论数学思想的应用。做出如下分析草图中的临界状态直线,不难得出正确结论。

24. 探究类型的题目,这道题目属于从去年的倒数第四题,前移到了今年的倒数第五题,依然属于“微专题”的形式呈现出来,考察了研究函数的全过程:取点、画图、测量、描点、连线画函数图象等,探究不同不同变量之间的对应关系。依然有估算形式的考题出现。

本题的变化在于出现了三个变量,x,y1,y2。

本题在北京中考的历史上的变化历程是:2017年是给定几何背景下构造新函数图像探究两条线段的长度关系,以及根据函数图像进行估值计算;2016、2015年都是新函数图像的性质探究;2014年是相似应用计算线段长;2013年中心对称图形的构造与应用;2012年是坐标系下点的坐标的分析与计算。

25题. 属于今年中考试题的重大变化,数据分析的地位提升到了前所未有的新高度。

之前,一直强调统计板块的地位在北京中考试卷中的地位不断提升,今年,算是提升到了最高点,放到了倒数第四题的位置。体现了大数据这个大背景下中考试题的新特色,预计必然会成为明年各区模拟试题甚至今后全国中考试卷的方向标。

同时,这样的题目,在初中、高中都有出现,初中与高中考察的界限并不分明,造成了一定的干扰。个人感觉此题同样可以作为高中教材必修三中《统计》一章节的配套练习题,并且毫无“违和”之感。

无论怎样,在以后的备考中,都应重视中位数的意义,中位数、平均数、众数在分析数据分布情况的作用,频数分布直方图的绘制过程及其优势和局限性的认识,以及用样本估计总体的统计意义。还要综合对比扇形图、直方图、频率分布表等之间的对应关系。

压轴题

代数综合题

本题的难度与模拟试题的难度相当,属于比较“热门”的考试类型,在模拟试题中多次出现。本题的解答可以借助下面的两幅图进行分析,注意数形结合和分类讨论等数学思想在代数综合试题中的应用。感兴趣的读者,可以参阅第三版代数综合题中对于2017年通州区的一模试题进行对比阅读,定能有比较深刻的认识。

几何综合题

本题涉及到一个古老的、背景丰富的几何模型。但是,本题绝对又是有所突破,有所创新,在众多同类试题中显得惊艳绝伦,实属难能可贵。读者可参阅第二版中对于东城二模几何综合题的解析。

新定义综合题