八，新的不变量：比例 （六年级）

    比较多个行程时，不仅可以利用比例关系求解。还可以把这种比例看做是不变量。在多个行程组成的问题中，这种方法有比较大的发挥空间。

    举例：2000年华赛决赛第二试第4题：
A，B两地相距125千米。甲，乙二人骑自行车分别从A，B两地出发，相向而行，丙骑摩托每小时63千米，与甲同时从A出发。在甲，乙之间来回穿梭（与乙相遇后立即返回，与甲相遇也立即返回），若甲的车速每小时9千米，且当丙第二次到达甲处时（同时出发的那一次为第0次），甲，乙相距45千米。问当甲，乙二人相距20千米时，甲，丙相距多少？

    注意那两个括号中的不是我加的，是题目中本身就有的。提这主要是针对以前遇到的对题目歧异的疑问。在大型考试竞赛中，歧义一般是不存在的，出题会考虑的尽可能严谨。如果题目出现歧义，一般就说明这考试或比赛不正规。

    先看一种解答，这是一本华赛题集后付的解法。
解法一：
先求乙的速度。设乙为甲速度的K倍。丙与乙相遇时，甲行了S千米。则这时丙行了7S千米。乙行了KS千米，有7S+KS=125。这时，甲丙相距6S。
丙第一次回到甲处时，甲又往前行6S/（7+1）=3/4S千米，丙行3/4S*7千米，乙行3/4S*K千米。
所以甲乙相距3/4S*7-3/4S*K=3/4S（7-K）即3/4*（7-K）/（7+K）=125千米。
于是丙第二次回到甲时，甲乙相距[3/4*（7-K）/（7+K）]*[3/4*（7-K）*（7+K）]*125
根据题目，[3/4*（7-K）/（7+K）]*[3/4*（7-K）*（7+K）]*125=45。
解得K=7/9。
既乙的速度是7/9*9=7（千米/小时）。
当丙第三次回到甲时，甲乙相距45*3/4*（7-K）（7+k）=27千米。第四次回到甲时，3/5*27=81/5小于20千米。因此，相距20千米发生在丙第四次回到甲前。
由于20-81/5=19/5，而甲乙速度比是9：7，
所以有19/5*9/（9+7）*（1+7）=171/10（千米）

（但这里我有个疑问了，甲乙相距20米是发生在丙第四次和甲相遇前。但从第三次相遇到第四次相遇有两个过程：丙从甲出发遇到乙，从乙返回遇到甲。怎么判断是在哪个过程中呢？怎么能直接就按第二个过程中来算呢？我觉得应该是要扣分的。）

    这是严格从题目条件出发，根据条件列式求解，也用到了一定的比例关系。但如果充分地利用比例不变，这个计算将可以大为简化。

解法二：
三人的速度始终不变，则时间和所走路程的的比例关系始终不变。把丙和甲一起出发，到遇到乙，再回头遇到甲，这个过程看做一个整体。那么第一次和第二次，第二次和第三次，第三次和第四次...这个比例关系不变。
那么丙甲第二次相遇经过了两个这过程，比例是45/125=9/25=（3/5）*（3/5），可知这个比例关系是3/5。
那么第三次相遇是45*3/5=27，第四次相遇是27*3/5=81/5，可知，相距20米发生在第四次相遇前。
然后求解就要算乙的速度了。分析一个过程内关系。丙从甲出发到遇到乙，设甲行了S千米，乙行了KS千米，丙行了7S千米，甲乙相距6S。
丙再回头遇到乙，前次甲丙速度差是7-1=6倍的甲速度，这次是7+1=8倍的甲速度。所以所用时间比例是6/8=3/4。甲乙两人距离又缩小了（1+k)*3/4s。
根据比例关系[6s-（1+k)*3/4S]/(7+k)s=3/5。
解得k=7/9。
那再看一个比例关系，每次丙离开甲遇到乙的过程前后，甲乙距离变化的比例。6/（7+7/9）=54/70。
由第三次甲乙相遇是27千米，27*54/70大于20千米。所以知道甲乙相距20千米发生在丙第四次遇到乙返回与甲相遇之间。
所以（20-81/5）/（1+7/9）*（1+7）=171/10千米

    这道题我没有按前面分析哪些不变，哪些变化的方式来写。因为那样会写很多，大家一看，不知会不会有比前一种更麻烦的感觉。