题文

如图，点P是双曲线（k1<0，x<0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线（0＜k2＜|k1|）于 E、F两点。 （1）图（1）中，四边形PEOF的面积S1=_______（用含k1、k2的式子表示）； （2）图（2）中，设P点坐标为（-4，3）。 ①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论； ②记S2=S△PEF-S△OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）k2-k1；
（2）① EF∥AB， 证明：如图，由题意可得A（-4，0），B（0，3），， ∴PA=3，，PB=4， ∴， ∴ 又∵∠APB=∠EPF， ∴△APB∽△EPF， ∴∠PAB=∠PEF， ∴EF∥AB； ②S2没有最小值，理由如下： 如图，过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，EM、FN交于点O， 由上知，， 而S△EFQ=S△PEF S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF =S△EOM+S△FON+S 矩形OMQN = ， 当k2>-6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12， ∴0＜S2＜24，S2没有最小值。

据专家权威分析，试题“如图，点P是双曲线（k1<0，x<0）上一动点，过点P作x轴、y轴..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值，反比例函数的图像，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值反比例函数的图像相似三角形的性质

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x