题文

要做20个矩形钢框，每个由2.2米和1.5米的钢材各两根组成，已知原钢材长4.6米，应如何下料，使用的原钢材最省？

题型：解答题  难度：中档

答案

要做成20个矩形的钢框，就需要2.2米和1.5米的钢材各40根．一种简单的想法是：在每一根原料上截取2.2米和1.5米的钢材各一根，这样每根原钢材剩下0.9米的料头，要做20个钢框，就要用原钢材40根，而剩下的料头总数为0.9×40=36米． 显然，上述想法，浪费材料，不太合理．因此，我们可以考虑合理套裁，就可以节省原料．下面有三种下料方案可供采用．  方案 每根下料数/根 长度/米 I  Ⅱ Ⅲ    2.2  0 2  1  （共需40根）   1.5  3 0  1   （共需40根）  合计  4.5 4.4  3.7     料头  0.1 0.2  0.9    为了省料而得到20个钢框，需要混合使用各种下料方案， 设用第Ⅰ种方案下料的原材料根数为x1；用第Ⅱ种方案下料的原材料根数为x2；用第Ⅲ种方案下料的原材料根数为x3． 所谓原材料最省，也就是使所剩下的料头总和最少， 为此根据表28.2的方案，可以列出以下的数学模型：y=0.1x1+0.2x2+0.9x3， 2x2+x3= 40 3x1+x3=40 ， 解之得：x1= 40 -x3 3 ，x2= 40-x3 2 ， 其中0≤x3≤40．把x1，x2代入y得：y= 1 10 × 40-x3 3 + 2 10 × 40-x3 2 + 9 10 x3= 1 30 （160+23x3）， 可以看出，x3越大，y的值也越大，所以x3的取值应尽量小． 当x3=0时，可取x1=14，x2=20； 当x3=1时，x1=13，x2=20，都是用原材料34根； 料头的总数为：y=34×4.6-（2.2+1.5）×40=8.4（米）． 所以，原材料最省的下料方案是：按方案Ⅰ下料13（或14）根，用方案Ⅱ下料20根，用方案Ⅲ下料1（或0）根，这样只需34根原材料就可做出20个钢框．

据专家权威分析，试题“要做20个矩形钢框，每个由2.2米和1.5米的钢材各两根组成，已知..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。