题文

（1）在图1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°，则能得如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB=AC．请你证明结论②； （2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）如图1 ∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠DCA=∠BCA=30°， ∵在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°， ∴AC=2AD，AC=2AB， ∴AD+AB=AC． （2）判断是：（1）中的结论①DC=BC；②AD+AB=AC都成立． 理由如下： 如下图，在AN上截取AE=AC，连接CE， ∵∠BAC=60°， ∴△CAE为等边三角形， ∴AC=CE，∠AEC=60°， ∵∠DAC=60°， ∴∠DAC=∠AEC ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠ADC=∠EBC， ∴△ADC≌△EBC， ∴DC=BC，DA=BE， ∴AD+AB=AB+BE=AE， ∴AD+AB=AC．

据专家权威分析，试题“（1）在图1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°，则能得如..”主要考查你对  角平分线的定义 ，三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 三角形的内角和定理

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。