题文

你能比较两个数20102011和20112010的大小？ （1）通过计算，比较下列各数的大小： 12______21；23______32；34______43；45______54；56______65；… （2）从第一题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n大小关系是______． （3）根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两数大小20102011______20112010．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）12=1，21=2， ∵1＜2， ∴12＜21， 23=8，32=9， ∵8＜9， ∴23＜32， 34=81，43=64， ∵81＞64， ∴34＞43， 45=1024，54=625， ∵1024＞625， ∴45＞54， 56=15625，65=7776， ∵15625＞7776， ∴56＞65； （2）根据（1）的计算，当n≤2时，nn+1＜（n+1）n， 当n＞2时，nn+1＞（n+1）n； （3）∵n=2010＞2， ∴20102011＞20112010． 故答案为：（1）＜、＜、＞、＞、＞，（2）当n≤2时，nn+1＜（n+1）n，当n＞2时，nn+1＞（n+1）n，（3）＞．

据专家权威分析，试题“你能比较两个数20102011和20112010的大小？（1）通过计算，比较下列..”主要考查你对  有理数的乘方  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数的乘方

考点名称：有理数的乘方

• 有理数乘方的定义：
  求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
  2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
  ①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
  ②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

• 乘方的性质：
  乘方是乘法的特例，其性质如下：
  （1）正数的任何次幂都是正数；
  （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
  （3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
  （4）a²是一个非负数，即a²≥0。

• 有理数乘方法则：
  ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
  ②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0
  
  点拨：
  ①0的次幂没意义；
  ②任何有理数的偶次幂都是非负数；
  ③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
  ④负数的乘方与乘方的相反数不同。

• 乘方示意图：