题文

已知：在△ABC中，AB=10．

（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中点，则DE的长为 _________ ； （2）如图（2）所示，若点A1，A2把AC三等分，B1，B2把BC三等分，则A1B1+A2B2= _________ ； （3）如图（3）所示，若点A1，A2，…A10把AC边十一等分，B1，B2，…，B10把BC边十一等分，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果为 _________ ．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）DE= AB=5．故DE=5． （2）设A1B1=x，则A2B2=2x． ∵A1，A2是AC的三等分点， B1，B2是BC的三等分点， 故由梯形中位线定理，有x+10=4x， 解得x= ．这时A1B1+A2B2=10． 故A1B1+A2B2=10． （3）同理可求出A1B1+A2B2+A3B3=15． A1B1+A2B2+A3B3+A4B4=20，… 从而A1B1+A2B2+…+A10B10=50． 故A1B1+A2B2+…+A10B10=50．

据专家权威分析，试题“已知：在△ABC中，AB=10．（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中..”主要考查你对  三角形中位线定理，平行线分线段成比例  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理平行线分线段成比例

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称：平行线分线段成比例

• 平行线分线段成比例定理：
  三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
  推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
  定理推论：
  ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
  ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

• 证明思路:
  该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点
  
  法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。
  
  AM=DP，AN=DQ
  AB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/AN
  DE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ
  又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF
  根据比例的性质：
  AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)
  ∴AB/BC=DE/EF
  
  法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.
  
  ∵ BE∥CF
  ∴△ABM∽△ACN.
  ∴AB/AC=AM/AN
  ∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)
  ∴AB/BC=DE/EF
  
  法3：连结AE、BD、BF、CE
  
  根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF
  ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
  根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：
  AB/BC=DE/EF
  由更比性质、等比性质得：
  AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF