题文

如图1，在△ABC和△PQD中，AC=kBC，DP=kDQ，∠C=∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连接EQ交PC于点H． 猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想．说明：如果你经历反复探索，没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，完成你的证明． 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得6分． ①AC=BC，DP=DQ，∠C=∠PDQ（如图2）； ②在①的条件下且点P与点B重合（如图3

题型：解答题  难度：中档

答案

结论：EH= 1 2 AC．（1分） 证明：取BC边中点F，连接DE、DF．（2分） ∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点． ∴DE∥BC且DE= 1 2 BC， DF∥AC且DF= 1 2 AC，（4分） EC= 1 2 AC∴四边形DFCE是平行四边形． ∴∠EDF=∠C． ∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF，∴∠PDF=∠QDE．（6分） 又∵AC=kBC，∴DF=kDE． ∵DP=kDQ，∴ DP DQ = DF DE =k．（7分） ∴△PDF∽△QDE．（8分） ∴∠DEQ=∠DFP．（9分） 又∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C． ∴∠C=∠EHC．（10分） ∴EH=EC．（11分） ∴EH= 1 2 AC．（12分） 选图2．结论：EH= 1 2 AC．（1分） 证明：取BC边中点F，连接DE、DF．（2分） ∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点， ∴DE∥BC且DE= 1 2 BC，DF∥AC且DF= 1 2 AC，（4分） EC= 1 2 AC，∴四边形DFCE是平行四边形． ∴∠EDF=∠C． ∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF，∴∠PDF=∠QDE．（6分） 又∵AC=BC，∴DE=DF，∵PD=QD，∴△PDF≌△QDE．（7分） ∴∠DEQ=∠DFP． ∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C． ∴∠C=∠EHC （8分） ∴EH=EC．（9分） ∴EH= 1 2 AC．（10分） 选图3．结论：EH= 1 2 AC．（1分） 证明：连接AH．（2分） ∵D是AB中点，∴DA=DB． ∵AC=kBC，DP=kDQ， ∴ AC BC = DP DQ =k， 又∵∠C=∠PDQ， ∴△ACB∽△PDQ， ∴∠ABC=∠PQD， ∴DB=DQ， ∴DQ=DP=AD， ∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ=180°， ∴∠AQB=90°， ∴AH⊥BC．（4分） 又∵E是AC中点， ∴HE= 1 2 AC．（6分）

据专家权威分析，试题“如图1，在△ABC和△PQD中，AC=kBC，DP=kDQ，∠C=∠PDQ，D、E分别是AB..”主要考查你对  三角形中位线定理，平行四边形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：