题文

已知△ABC（如图所示）． （1）在图中找出重心O； （2）设BC，AC，AB边的中点为M，N，G，度量OM和OA，ON与OB，OG与OC，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间的距离，并给予证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）用尺规作图作出△ABC三边的中线AM，BN，CG，设它们的交点为O，则O为△ABC的重心 （2）通过度量发现：AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG 猜想：三角形的重心O到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍． 证明：如图所示，取BO，CO的中点K，H，连接KH，HN，NG，KG， ∵G，N分别是AB，AC的中点， ∴GN平行且等于 1 2 BC． 又∵K，H分别是OB，OC边的中点， ∴KH平行且等于 1 2 BC． ∴GN平行且等于KH． ∴四边形KHNG是平行四边形． ∴GO=OH，NO=KO． 而BK=KO，CH=HO， ∴BO=2ON，CO=2OG． 若取AO的中点R， 同理，可证AO=2OM． ∴AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG．

据专家权威分析，试题“已知△ABC（如图所示）．（1）在图中找出重心O；（2）设BC，AC，AB边的中..”主要考查你对  三角形中位线定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。