题文

在△ABC中，AC＞BC，D为AB的中点，E为线段AC上的一点． （1）如图1，若AE= 1 4 AC，∠C=90°，BC=2，AC=4，求DE的长； （2）如图2，若AE=BC且F为EC中点，求证：∠AFD= 1 2 ∠C； （3）若2∠AED-∠C=180°，试探究AE、BC、AC的数量关系，并证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：过点D作DG⊥AC交AC于G，（如图1） ∵D为AB的中点， ∴E为AC的中点， ∴DG为△ACB的中位线， ∴DG= 1 2 BC=1， ∵AE= 1 4 AC，AC=4， ∴AE=1， 在Rt△DGE中，DE= 12+12 = 2 ； （2）证明：连结BE，取BE中点M，再连结MF、MD．（如图2） ∵F为EC中点，D为AB中点， ∴MF∥BC且MF= 1 2 BC，MD∥AB且MD= 1 2 AB， ∴MF=MD， ∴∠MED=∠MDE， 又∵MD∥AB， ∴∠AFD=∠MDE， ∵∠MED=∠MDE， ∴∠AFD= 1 2 ∠AFM， ∵MF∥AC， ∴∠AFM=∠ACB， ∴∠AFD= 1 2 ∠ACB， 即：∠AFD= 1 2 ∠C； （3）答：AC=2AE+BC，（如图3） 证明：在EC上截取EM=AE，连接BM，作CH⊥BM， ∵2∠AED-∠C=180°， ∴∠AED=90°+∠MCH， ∴∠AED=90°+ 1 2 ∠C， ∴∠C=2∠MCH，易证△CHM≌△CHB， ∴BC=MC， ∴AC=2AE+BC．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，AC＞BC，D为AB的中点，E为线段AC上的一点．（1）如图1，若..”主要考查你对  三角形中位线定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。