题文

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD的中点． 求证：EF= 1 2 （BC-AD）．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：方法一： 如图所示，连接AE并延长，交BC于点G． ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB， 又∵E为BD中点， ∴△AED≌△GEB． ∴BG=AD，AE=EG． 在△AGC中， ∵F，E分别是对角线AC，BD的中点 ∴F、E是△AGC的为中位线， ∴EF∥BC，EF= 1 2 GC= 1 2 （BC-BG）= 1 2 （BC-AD）， 即EF= 1 2 （BC-AD）． 方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于G． ∵E为BD中点，AD∥BC，易得△GED≌△CEB． ∴GD=CB，GE=CE． 在△CAG中，∵E，F分别为CG，CA中点， ∴EF= 1 2 GA= 1 2 （GD-AD）= 1 2 （BC-AD），即EF= 1 2 （BC-AD）．

据专家权威分析，试题“如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD..”主要考查你对  三角形中位线定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
  逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
  如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

• 区分三角形的中位线和中线：
  三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
  三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。