若实数a,b满足a+b2=1,则2a2+7b2的最小值是______.-数学

题文

若实数a,b满足a+b2=1,则2a2+7b2的最小值是______.
题型:填空题  难度:中档

答案

∵a+b2=1,
∴a=1-b2
∴2a2+7b2=2(1-b22+7b2=2b4+3b2+2=2(b2+
3
4
2+2-
9
8
=2(b2+
3
4
2+
7
8

∵b2≥0,
∴2(b2+
3
4
2+
7
8
>0,
∴当b2=0,即b=0时,2a2+7b2的值最小.
∴最小值是2.
方法二:∵a+b2=1,
∴b2=1-a,
∴2a2+7b2=2a2+7(1-a)=2a2-7a+7=2(a-
7
4
2+
7
8

∵b2≥0,
∴1-a≥0,
∴a≤1,
∴当a=1,即b=0时,2a2+7b2的值最小.
∴最小值是2.

据专家权威分析,试题“若实数a,b满足a+b2=1,则2a2+7b2的最小值是______.-数学-”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

二次函数的最大值和最小值

考点名称:二次函数的最大值和最小值

  • 二次函数的最值:
    1.如果自变量的取值范围是全体实数,则当a>0时,抛物线开口向上,有最低点,那么函数在处取得最小值y最小值=
    当a<0时,抛物线开口向下,有最高点,即当时,函数取得最大值,y最大值=
    也即是:如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,
    2.如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x=x2 时,,当x=x1;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x=x1时,,当x=x2 。
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