作为我国对月球实施无人探测的第二阶段任务,“嫦娥二号”卫星预计在2011年前发射,登月器也将指日登陆月球.质量为m的登月器与航天飞机连接在一起,随航天飞机绕月球做半径为3

◎ 题目

作为我国对月球实施无人探测的第二阶段任务,“嫦娥二号”卫星预计在2011年前发射,登月器也将指日登陆月球.质量为m的登月器与航天飞机连接在一起,随航天飞机绕月球做半径为3R( R为月球半径)的圆周运动.当它们运行到轨道的A点时,登月器被弹离,航天飞机速度变大,登月器速度变小且仍沿原方向运动,随后登月器沿椭圆登上月球表面的B点,在月球表面逗留一段时间后,经快速起动仍沿原椭圆轨道回到分离点A并立即与航天飞机实现对接.已知月球表面的重力加速度为g.试求:
(1)登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少?
(2)若登月器被弹射后,航天飞机的椭圆轨道半长轴为4R,则为保证登月器能顺利返回A点,登月器可以在月球表面逗留的时间是多少?
魔方格

◎ 答案

(1)设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T,
因其绕月球作圆周运动,
所以应用牛顿第二定律有
G
Mm
(3R)2
=m(
T
)2?3R
…①
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力,
G
Mm0
R2
=m0g
…②
联立①②解得T=6π

3R
g
…③
(2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1,航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2
对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有
T2
(3R) 3
=
T21
(2R)3
…④
T2
(3R) 3
=
T22
(4R)3
…⑤
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接,登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足
t=nT2-T1  (其中,n=1、2、3、…)…⑥
联立③④⑤⑥得 t=4π(4n-

2
)

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