应灵君

教过二年级《角的认识》的教师都知道，这节课的难点在于“角的大小与边的长短无关，和两边叉开的大小有关”。对于“角的大小和两边叉开的大小有关”这一知识点，学生通过操作、观察、讨论、交流等方式可以发现，但“角的大小和边的长短无关”让学生真正接受并理解，非常困难。

一、难点“症结” 分析思考

在一次公开课上，教师在上这一环节时，先用活动角，观察并感受角的大小，再用重叠法比较角的大小，然后用拉长其中一个角的两边，体会角的大小与边的长短无关。最后，教师一次次地问：角的大小与什么有关？与什么无关？学生齐声回答：与边张开的大小有关，与边的长短无关。在这一设计中，学生经历了动手操作，也进行了反复的比较、讲解和辨析，教师也心满意足地收尾。

课后，笔者随手画了如下两个角随机访谈了10名学生，仅一名学生认为②号角大。

可见，难点的突破最终未得到落实。问题的症结在哪里？

第一，受生活经验的影响。小学低年级的学生以直观形象认识为主，角在生活中随处可见，但是他们能看到的都是“角的两边叉开的变化”，如时针的转动、剪刀的张合等，看不到角的两边长短的变化，因此，“角的大小与边的长短无关”，他们很难接受。

第二，对“角”缺乏整体感知。在上述未能突破“角的大小与边的长短无关”的课堂上，教师教学角是怎样的图形时，只停留在角是由一个顶点和两条边组成的图形上，学生割裂地认识顶点和边，却不能整体感知角在哪里。

第三，不清楚“角的大小”是什么。笔者在上述访谈中发现学生眼中“角的大小”指的是图形面积的大小，实质就是把“角”看作是一个封闭图形，所比的是面积的大小，面积越大，角就越大。由于这种不正确的认识，使得学生错误地以为角的边越长（短），角就越大（小）。

二、教材变化 前后对比

2003旧人教版教材在小学阶段对角的概念只做了静态的定义。而2013新部编版在旧版的基础上加入了原本到初一才出现的角的动态定义：角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置形成的图形。这一定义安排是为了从动态的角度引出平角和周角，更有利于学生对“角”的相关知识作系统认识。

三、直面难点 创新教学

厘清了学生的学习困难，解读了教材的新增定义，深刻理解了教材用意，笔者尝试从动态定义的角度，紧扣角的概念的本质内涵——角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，把“角的大小”从“角的初步认识”中剥离出来，作为一个独立内容单独设计了一节课。

（一）情境导入

我们已经认识了角，你会画角吗？（生画角）

师：寻找角的边较短却角大，边较长却角小的两个角。

师：你觉得哪个角大？为什么？

生1：左边的大，因为分得比较开。

生2：右边的大，因为两条边比较长。

师：到底哪个角大，今天就来研究关于角的大小的问题。（揭题）

（二）操作探究

1.在“变”中感知角的大小与“转”得多少有关

（1）认识活动角

认识活动角后，转出一个角，并整体规范地顶点和边。（如右图）

（设计意图：引导整体指出角，避免对角的错误认识。）

（2）边长相等比大小

游戏1：转动两条边使角变大变小，知道角的两边分得开，角就大，靠得近，角就小。

（设计意图：这里用的素材是边长相等的两个角比大小，感知角的大小与两条边分开得多少的关系。）

游戏2：转动一条边使角变大变小，知道一条边不动，另一条边转得越多，角就越大，转得越少，角就越小。

这里安排两次转：第一次，先介绍观察法，学习重叠法，再从人人动手转、指生上台转，感知转得多（少），两条边分得开（靠得近），角就大（小）；第二次，巩固转得多少和角的大小的关系，同时引出相等角，感知转得一样多，角就相等；两次转完后，课件梳理并总结。

（设计意图：这里的两次转动，从角的动态定义诠释角的大小——转得多少，将学生的目光从“把角看成一个封闭图形，以面积来理解角的大小”里拉出来。）

（3）边长不等比大小

游戏3：一长一短的活动角转动一条边，感受角的大小和边的长短无关。

师：出示边一长一短的两个活动角，这回还是转动一条边，如果你想赢，你会选择边长的还是短的？

生：长的。

师：选了长的就一定赢吗？继续“转转转—停”的游戏。

生：转，并用重叠法比大小。

师：同游戏2，转一转验证是否边短的转得多。

讨论：如果这次是小的角赢，那么边长的角肯定得输吗？

生：不一定。

师：那只要边长的角怎么样就可以了？

生：转得少点。

师：从刚才的游戏中发现了什么？

生：边长的不一定大，边短的不一定小，边的长短都不会影响角的大小。

（设计意图：有了重叠法比大小和角的大小只和转得多少有关这些环节的铺垫后，从学生知道“选短的不一定输”的话里，便能检测到这节课的难点已然顺利突破。）

2.在“不变”中感知角的大小与“边长”“边短”没有关系

游戏4：两条边都不能动，感受角的大小和边的长短无关。

师：两条边都转或者转一条边，角能变大变小，如果两条边都不能动，角的大小还会变吗？为什么？

生1：因为固定后角就不能转动了。

生2：不能分开和靠近了。

师：把角的两条边延长、延长、再延长，角变大了吗？为什么？

生：没变大。因为角没转动。

师：剪短、剪短、再剪短，角变小了吗？为什么？

生：没变小，因为角还是没转动。

师：你发现了什么？

生：只要两条边都不转动，无论边怎么变长（或短），角的大小都不变。

（设计意图：最后用固定角的两条边，知道角不能转，无论怎样改变角两条边的长度，角的大小都不会改变。进一步落实难点。）

（三）生活原型

生活中什么地方有今天学的角的大小改变？

（四）呼应开头

判断究竟哪个角大？请用活动角来验证。

四、独到设计 “转”活课堂

这样的一节概念课，笔者从二年级学生的年龄特征入手，以“转转转—停”的形式来让学生动态感知“角的大小”和“转得多少”之间的关系，形象生动地呈现出角的动态定义：

1.设计的独到

教材将“角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”这一动态定义介入到了四年级，笔者捕捉到这一信息，用“转转转—停”这样独到的游戏形式让学生感知角的形成过程。学生在不停地“转”和“停”中经历了角转动后形成的大小不一的角。有了这次教学，以后再提到角的大小，学生想到的是“转”得多少，避免了将“角的大小”理解为“三角形面积”的尴尬，也将二年级学生在还没认识射线前以“有限”的思维去理解“无限”的思维里“拯救”了出来，消除了以原有教材编排和相应教学给学生带来的对“角的大小和边长无关”不能真正认同的弊端。

2.重组的时空

“角的大小”教学内容从未有人以独立内容呈现过，一般都依附于“角的初步认识”而作为一个教学内容出现。笔者在“角的初步认识”后，对这一内容的单独处理，让“转”有时间，让“停”有空间，给学生以充分的体验和感知，独立而清晰地触摸到了“角的大小”的本质。

3.创意的美丽

该教学设计不仅“形象”“具体”地展示了角的大小实际就是“一条边不动，另一条边转得多（或少）”，同时使得“角的大小”和“角的本质概念”和谐一致、完美统一。一“转”一“停”间，沟通了“角的大小”与“转得多少”的联系。既符合二年级学生的年龄特征，又科学、浅显地诠释了数学概念。

4.后续的延伸

“转转转”，只要教师不喊“停”，继续转下去，就能转出平角、周角，打通了各种角之间的区别和联系，利于学生从整体上对角进行感知和认识，为后续学习做了充分、全景的数学经验准备。学生未来能更充分地认识和理解90度角和270度角、360度角和0度角的不同；能充分理解180度角的两边虽然在一条直线上，但两条边的“面向截然相反”；更利于学生厘清1度角、锐角、直角、钝角、平角、270度角和周角之间的关系……

一节课，从“转”两条边—“转”一条边—两边都不“转”，找到“转”就“变”、“不转”就“不变”之间的动态联系，同时渗透了“变”与“不变”之间的辩证统一，“转”出了新意，“创”活了课堂！