题文

如图，已知抛物线y=mx2+nx+p和y=x2+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B。 （1）求函数y=mx2+nx+p的解析式； （2）试猜想：与一般形式抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式（不要求证明） （3）若AB的中点为C点，求sin∠CMB的值； （4）若一次函数y=kx+b过点M，且与y=mx2+nx+p相交于另一点N（i，j），如果i≠j，且i2-i+z=0和j2-j+z=0，求k的值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）的顶点为（-3，-4）      抛物线与的图象关于y轴对称      的顶点为（3，-4）     故可设    又与y轴的交点M（0，5）   点M（0，5）在上   即 ，所求二次函数为 （2）猜想：与一般形式抛物线    关于y轴对称的二次函数解析式是 （3）过点C作，垂足为D   由已知，A（1，0），B（5，0），M（0，5），C（3，0）   故是等腰直角三角形，   在中，，则 （4）设过点M（0，5）的直线为，则b=5    由已知，点在上     又由已知，i、j是关于x的二次方程的解     即   解得   则点N的坐标是（4，-3）或（1，0），故k的值为-2或-5

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线y=mx2+nx+p和y=x2+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，锐角三角函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用锐角三角函数的定义

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。