题文

已知：t1、t2是方程的两个实数根，且t1<t2，抛物线的图象经过点 A（t1，0），B（0，t2）。

（1）求这个抛物线的解析式； （2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，当的面积为24时，是否存在这样的点P，使为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）抛物线的解析式为：； （2）∵点P（x，y）在抛物线上，位于第三象限，    ∴y<0，即-y>0，    又∵，    ∴           ，    令y=0，即，解得：，，    ∵抛物线与x轴的交点坐标为（-6，0），（-1，0），    ∴x的取值范围为-6<x<-1。 （3）当S=24时，即，解得：x1=-3，x2=-4，    代入解析式得：y1=-4，y2=-4，点P的坐标为（-3，-4），（-4，-4），    当点P为（-3，-4）时，满足PO=PA，此时，平行四边形OPAQ是菱形；    当点P为（-4，-4）时，不满足PO=PA，此时，此时，平行四边形OPAQ不是菱形，    而要使平行四边形OPAQ为正方形，那么，一定有，，此时，点P的坐标为 （-3，-3），而（-3，-3）不在抛物线上，故不存在这样的点P，使四边形OPAQ为正方形。

据专家权威分析，试题“已知：t1、t2是方程的两个实数根，且t1<t2，抛物线的图象经过..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .