题文

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S。

（1）求∠OAB的度数，并求当点A'在线段AB上时，S关于t的函数关系式； （2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； （3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1） ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，) ∴  ∴ 当点A'在线段AB上时，∵，TA=TA'    ∴△A'TA是等边三角形，且 ∴， ∴   当A'与B重合时，AT=AB=， 所以此时。 （2）当点A'在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图，其中E是TA'与CB的交点)， 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0) 又由(1)中求得当A'与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。 （3）S存在最大值 ①当时，                   在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小， ∴当t=6时，S的值最大是 ②当时，由图，重叠部分的面积 ∵△A'EB的高是 ∴ 当t=2时，S的值最大是。
③当时，即当点A'和点P都在线段AB的延长线时 (如图，其中E是TA'与CB的交点，F是TP与CB的交点) ∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB= 4 ∴ 综上所述，S的最大值是，此时t的值是。

据专家权威分析，试题“已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：