题文

如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E。设△ADE的高AF为x（0<x<6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y，（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）。

（1）分别求出当0<x≤3与3<x<6时，y与x的函数关系式； （2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A′ED落在△ABC内部如图1，重叠部分为△A′ED ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴， ∴， 即DE=x 又∵FA′=FA=x ∴y=DE·A′F=×x·x ∴y=x2（0＜x≤3） ②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A′ED有一部分落在△ABC外，如图2，重叠部为梯形EDPQ ∵FH=6-AF=6-x A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6 又∵DE∥PQ ∴△A′PQ∽△A′DE ∴ ∴， PQ=3（x-3） ∴y=（DE+PQ）×FH=[x+3（x-3）]×（6-x） ∴y=-x2+18x-27（3＜x＜6）； （2）当0＜x≤3时，y的最大值：y1=x2=×32=； 当3＜x＜6时，由y=-x2+18x-27=-（x-4）2+9 可知： 当x=4时，y的最大值：y2=9； ∵y1＜y2， ∴当x=4时，y有最大值：y最大=9。

据专家权威分析，试题“如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；