题文

如图所示，在平面直角坐标系O中xy，已知点A（-，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C。 （1）求∠ACB的度数； （2）已知抛物线线y=ax2+bx+3过A、B两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形，若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1） ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ， ∴∠ACB=90°，
（2） ∵△AOC∽△ABC， ∴OC2=AO·OB， ∵A（-，0），点C（0，3）， ∴ AO=，OC=3， ∴ 32=OB， ∴OB=4， ∴B（4，0）， ∴设抛物线的解析式为 把C点坐标代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 即。
（3） 存在。分两种情况讨论： ①OD=OB， D在OB的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H ，则H是OB 中点， DH=OC，OH=OB， ∴D（2，）； ②BD=BO， 过D作DG⊥OB，垂足是G，则OC=3，OB=BD=4，BC=5，CD=1， ∵DG∥CO， ∴OG∶OB=CD∶CB， 即OG∶4=1∶5， ∴OG=； DG∶CO=BD∶BC， 即DG∶3=4∶5， ∴DG=， ∴D（，）， 综上所述，线段BC上存在点D，使△BOD为等腰三角形，点D的坐标为（2，），（，）。

据专家权威分析，试题“如图所示，在平面直角坐标系O中xy，已知点A（-，0），点C（0，3），点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，圆心角，圆周角，弧和弦  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定圆心角，圆周角，弧和弦

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；