题文

已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示。 （1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式； （2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。 （3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由题意易知：△BOC∽△COA， ∴， 即 ∴ ∴点C的坐标是（0，） 由题意，可设抛物线的函数解析式为 把A（1，0），B（-3，0）的坐标分别代入， 得 解这个方程组，得 ∴抛物线的函数解析式为； （2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下： 可求得直线的解析式为， 直线的解析式为 抛物线的对称轴为直线 由此可求得点K的坐标为（-1，），点D的坐标为（-1，），点E的坐标为（-1，），点F的坐标为（-1，0） ∴KD=，DE=，EF= ∴KD=DE=EF （3）（i）以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点M1，由抛物线对称性可知点M1为点C关于直线的对称点 ∴点的坐标为（-2，），此时△为等腰三角形 （ii）当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 （iii）作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且，可知l经过点D， ∴KD=DC 此时，有点即点D坐标为（-1，），使△为等腰三角形； 综上所述，当点M的坐标分别为（-2，），（-1，）时，△MCK为等腰三角形。

据专家权威分析，试题“已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定相似三角形的性质