题文

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线经过B、C两点，并与x轴交于另一点A。

（1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N。 ①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由； ②求以BC为底边的等腰△BPC的面积。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由于直线y=-x+3经过B、C两点， 令y=0得x=3； 令x=0，得y=3， ∴B（3，0），C（0，3）， ∵点B、C在抛物线上，于是得 ， 解得b=2，c=3， ∴所求函数关系式为； （2）①∵点P（x，y）在抛物线上， 且PN⊥x轴， ∴设点P的坐标为， 同理可设点N的坐标为（x，-x+3）， 又点P在第一象限， ∴PN=PM-NM =（）-（-x+3） = = ∴当x=时， 线段PN的长度的最大值为； ②由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上， 又由①知，OB=OC， ∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线， ∴设点P的坐标为（a，a）， 又点P在抛物线上，于是有， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为：或， 若点P的坐标为， 此时点P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中， ，OB=OC=3， = = = =， 若点P的坐标为，此时点P在第三象限， 则 = = = =。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，三角形的周长和面积  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用三角形的周长和面积

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；