题文

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D。

（1）求该抛物线的函数关系式； （2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标； （3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1） 设 将C（0，3）代入上式，得 ∴ 即。
（2）分两种情况： ①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合（如图） 令y=0，得 解得：， ∵点A在点B的右边， ∴B（1，0），A（3，0）  ∴P1（1，0） ②当点A为△APD2的直角顶点是（如图） ∵OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠OAD2=45° 当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°， ∴AO平分∠D2AP2 又∵P2D2∥y轴， ∴P2D2⊥AO， ∴P2、D2关于x轴对称 设直线AC的函数关系式为 将A（3，0）， C（0，3）代入上式得， ∴ ∴ ∵D2在上，P2在上， ∴设D2（x，-x+3），P2（x，） ∴（）+（）=0 ， ∴，（舍） ∴当x=2时，==-1 ∴P2的坐标为P2（2，-1）（即为抛物线顶点） ∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）。
（3）由题（2）知，当点P的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形 当点P的坐标为P2（2，-1）（即顶点Q）时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F 当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形 ∵P（2，-1）， ∴可令F（x，1） ∴ 解之得：， ∴F点有两点，即F1（，1），F2（，1）。

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，一次函数的图像，一元二次方程的解法，直角三角形的性质及判定，平行四边形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用一次函数的图像一元二次方程的解法直角三角形的性质及判定平行四边形的判定