题文

已知如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC0为梯形，BC∥AO，四个顶点坐标分别为A（4，0），B（1，4），C（0，4），O（0，0）。一动点P从O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动。两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止．设其运动时间为t秒。 （1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）当t为何值时，PB与AQ互相平分； （3）连接PQ，设△PAQ的面积为S，探索S与t的函数关系式，求t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设抛物线的解析式为，代入A、B、C三点，得   ∴ ∴； （2）使得PB与AQ互相平分，故， ∴， ∴，， ，； （3）由已知得AB=5，CB=1， ①当时，点Q在线段AB上运动， 设，∠OAB=θ，sinθ=， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②当时，点Q在线段BC上运动，则， ∴当时，有最大值为3， ∴综上所述，当时，有最大值为。

据专家权威分析，试题“已知如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC0为梯形，BC∥AO，四..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，一元一次方程的应用，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用一元一次方程的应用解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。