题文

等边三角形纸片ABC和C'D'E'的边长分别为和2。

（1）如图1，将△C'D'E'放在△ABC上，使得C'和C重合，且D'和E'分别AC在AC和BC上，固定△ABC，将△C'D'E'绕点C逆时针旋转30°得到△C'DE（如图2），连接AD、BE，C'E的延长线交AB于F，试判断线段BE与AD的数量关系，并证明你的结论； （2）如图，若将△C'DE继续移动，使其在线段CF上沿着CF的方向以每秒1个单位的速度平移，如图3，设△C'DE移动的时间为x秒，△C'DE与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）BE与AD的关系是相等， 证明：∵△ABC与△C'D'E'是等边三角形， ∴DC=EC，AC=BC，∠ABC=∠DCE ∵∠ACF=∠ACF ∴∠DCA=∠ECB ∴在△ADC和△ECB中， ∴△ADC≌△ECB ∴BE=AD。 （2）∵∠BCF=30° ∴ ∠BCF=∠ACB=∠ACF ∴CF⊥AB于F ∵BC= ∴在Rt△BFC中，BF= 由勾股定理得CF=4， ∵C'E=2，且△C'DE平移的速度是1 ∴0≤x≤2 ∵∠DC'E=60°，∠ACF=30°， ∴∠CGC'=30° ∴∠ACF=∠CGC' ∴DG=2-x 又∵∠D=60°，∠DGH=30°， ∴∠DHG=90° ∴△DGH为直角三角形 ∴DH= ∴S△DGH=×DH×HG= 又∵S△DC'E= ∴ y=S△DC'E-S△DGH= ∴。

据专家权威分析，试题“等边三角形纸片ABC和C'D'E'的边长分别为和2。（1）如图1，将△C'..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，全等三角形的性质，图形旋转，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用全等三角形的性质图形旋转平移

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
  =a(x-x₁)(x-x₂).
  重要概念：
  a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
  a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
  a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
  能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；