题文

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且12a+5c=0。

（1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动。 ①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）据题意知：A（0，-2），B（2，-2）， ∵A点在抛物线上， ∴C=-2， ∵12a+5c=0， ∴a=， 由AB=2知抛物线的对称轴为：x=1， 即：， ∴抛物线的解析式为：； （2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t， ∴S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2，即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）； ②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形， ∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1）， ∴S=（0≤t≤1）， ∴当t=时，S取得最小值， 这时PB=2-=0.4，BQ=0.8，P（1.6，-2），Q（2，-1.2） 分情况讨论： A】假设R在BQ的右边，这时QR平行且等于PB，则： R的横坐标为2.4，R的纵坐标为-1.2，即（2.4，-1.2） 代入，左右两边相等， ∴这时存在R（2.4，-1.2）满足题意； B】假设R在BQ的左边，这时PR平行且等于QB，则： R的横坐标为1.6，纵坐标为-1.2，即（1.6，-1.2） 代入，左右两边不相等，R不在抛物线上； C】假设R在PB的下方，这时PR平行且等于QB，则： R（1.6，-2.4） 代入，左右不相等，R不在抛物线上； 综上所述，存点一点R（2.4，-1.2）满足题意。

据专家权威分析，试题“如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行四边形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行四边形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
  =a(x-x₁)(x-x₂).
  重要概念：
  a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
  a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
  a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
  能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
  能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；