题文

在平面直角坐标系中，B（+1，0），点A在第一象限内，且∠AOB=60°，∠ABO=45°。

（1）求点A的坐标； 　　 （2）求过A、O、B三点的抛物线解析式； 　　 （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止，①若△POB的面积为S，写出S与时间t（秒）的函数关系； ②是否存在t，使△POB的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）过A作AC⊥OB于C，设OC=x，　　 在Rt△AOC中，AC=x，　　 在Rt△ABC中，BC=x ∵OB=+1，　　 ∴OC+BC=OB， ∴x+x=+1，　　 ∴x=1、AB=BC=，　　 ∴点A（1，）。 （2）∵抛物线经过A（1，）、O（0，0）、B（，0）　　 设y=a（x-0）（x--1），　　 ∴=a（-）→a=-1，　　 ∴y=-x2+（+1）x，　　 即经过A、O、B三点的抛物线解析式为　 y=-x2+（+1）x。 （3）①过点P作PD⊥BO于D，OP=2t，　　 ∴PD=OPsin60°=2t·=t，　　 ∴S=OB·PD=（+1）·t 　　 S=t（0＜t≤1） ②存在t，使△POB的外心在x轴上，即△POB的外心在OB上，　　 ∴∠OPB=90°， 在Rt△OPB中，OP=OBcos60°=（+1），　　 ∴OP=2t， ∴t=，　　 当t=时，△POB的外心在x轴上。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，B（+1，0），点A在第一象限内，且∠AOB=60°，∠..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。