题文

已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）． （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）解方程x2﹣6x+5=0， 得x1=5，x2=1 由m＜n，有m=1，n=5 所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）． 将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c． 得 解这个方程组，得 所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5 （2）由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得﹣x2﹣4x+5=0 解这个方程，得x1=﹣5，x2=1 所以C点的坐标为（﹣5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（﹣2，9）． 过D作x轴的垂线交x轴于M． 则S△DMC=×9×（5﹣2）= S梯形MDBO=×2×（9+5）=14， S△BOC=×5×5= 所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC=14+﹣=15． （3）设P点的坐标为（a，0） 因为线段BC过B、C两点， 所以BC所在的直线方程为y=x+5． 那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5）， PH与抛物线y=﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）． 由题意，得①EH=EP， 即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5） 解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去） ②EH=EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5） 解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去） P点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．

据专家权威分析，试题“已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。