随看随想

    利维奥是美国天体物理学家，他的研究帮助确定了宇宙膨胀的速度。在这本书里，作者探讨了数学的本质，数学与哲学的关系等问题。本文选自第一章，数学世界存在么？还是说它只是人类的一种抽象认知？数学与生活、其他学科的关联是什么？我们经常会被学生问及，学数学到底有什么用。读一读利维奥这本书，认识数学与广大世界之间的联结，或许能得出自己的答案。（杨赢）

    我上面讲述的这些简短的故事已经充分证明，我们所处的世界受数学支配——至少认识、分析世界的过程深受数学的影响。正如本书将要展现的，大多数（也许是全部）人类活动似乎源于数学，对此，人类自己甚至根本没有意识到。让我们再用一个金融领域的例子来证明：布莱克-斯科尔斯期权定价模型为其发现者们赢得了诺贝尔经济学奖——奖项最终授予了迈伦·斯科尔斯和罗伯特·卡哈特·默顿，因为费歇尔·布莱克在获奖前就已经去世了。模型中的关键平衡等式能帮助人们理解如何确定股票期权价格（期权是一种金融工具，投资者共同商定在未来一个特定日期的股票价格，并以此价格买入或卖出股票）。令人难以置信的是，该模型的核心问题——布朗运动，此前已经被物理学家研究了几十年了。布朗运动描述了微粒不规则、无休止的运动状态，我们可以从水中悬浮的花粉粒子和空气中烟尘粒子的运动中观察到这种状态。同样的方程式也可以描述星团里无数个恒星的运动。这是不是有点像《爱丽丝梦游仙境》中所说的“神奇啊，太神奇了”？不管宇宙如何运行，商业和经济毕竟是人类思维主导创造的世界。

    让我们再来看一个在电路板制造或计算机设计中的常见问题。这些领域都可能要利用激光在平板上钻出数以万计的小孔。为了节约成本，设计人员不希望“钻孔”是一种随机行为，就像“随意的旅行者”一样乱走。他们希望能在钻孔前找出最短“路径”，让每个孔都被“光顾”到，而且只被“光顾”一次。其实从20世纪20年代起，数学家们就开始研究这个“旅行商问题”了。简单地说，假设有一位商人或者一位参加竞选的参选人，他想要以一种最经济的方式访问给定数量的所有城市，其中任意两座城市之间的旅行花费是已知的。他的问题就是如何找出一条能访问所有城市，并且最后回到原始出发点的、最便宜的那条路线。1954年解决了美国49个城市的“旅行商问题”，2004年给出了瑞典24978个城镇的解决方案。也就是说，电子工业、发送包裹的物流公司，甚至制造弹珠游戏机（手指需要击打数千次）的日本厂商都要依赖于数学解决类似钻孔、调度或计算机物理设计这样的简单问题。

    阿普尔盖特等人对这一问题给出过精彩而专业的解答。

    数学还进入了一些在传统上与之联系并不十分紧密的学科领域。例如，有一本期刊名叫《数理社会学杂志》，所谓的数理社会学，就是通过数学工具来研究和分析复杂的社会结构、组织和非正式群体。该杂志中文章的主题覆盖面很广，包括预测公众观点的数学模型、预测社会群体中某些交互行为的数学模型，等等。

    让我们换个方向，把目光从数学转向人文学科，来看看计算语言学。这门学科起初只涉及计算机科学家，但今天，它已经发展为一门跨学科的研究领域，将语言学家、认知心理学家、逻辑学家和人工智能专家集中在一起，共同研究自然进化语言的复杂性。

    这难道是捉弄我们的恶作剧吗？人类试图领会和理解世界奥秘的所有努力，最终却将他们引入了越来越精细、复杂的数学领域。然而，这个领域正是宇宙，甚至人类所有行为的基础。难道数学就是老师们隐藏的秘籍吗（为了防止“教会徒弟，饿死师傅”，老师通常会把书上的知识藏起来一部分，不教给学生，这样一来，老师总显得比学生高明）？或者，借用《圣经》上的一个隐喻：数学是智慧之树结出的最终果实吗？

    正如我在本章开始时介绍的，数学无理由的有效性产生了许多有趣的问题：数学是一种完全独立于人类心智的存在吗？换句话说，我们是否只是发现了本已存在的数学真理，恰如天文学家发现先前未被人类观察到的星系那样？如若不是，难道数学仅是人类的一项发明？如果数学真实存在于某个抽象世界之中，那么这个神秘的世界与物理现实世界之间是什么关系？仅掌握有限知识的人类如何才能超越时空的限制，进入这个永恒不变的神秘殿堂？另一方面，假如数学仅是人类的发明，并且只存在于人类心智中，那么我们又如何解释，自己“发明”出来的如此之多的数学真理，为何会如神迹一般地准确预言了几十年甚至几百年之后才出现的宇宙和人类生活中的某些问题呢？这些问题并不简单。正如我在书中反复讲到的，即使在今天，数学家、认知学家和哲学家对此还存在分歧。1989年，法国数学家阿兰·孔涅，这位赢得了数学界最负盛名的两项荣誉（1982年的菲尔兹奖和2001年的克拉夫德奖）的数学家清晰地表达了自己的观点：

    “根据我的观察，质数（仅能被1和自己整除的自然数）组成的世界，远比我们周围的物质世界稳定。数学家的工作可以与探险家发现世界相媲美。他们都是从经历中发现基本事实。举例来说，通过简单的计算，我们发现质数的序列似乎永无穷尽。那么，数学家的任务就是证明存在无穷多的质数，当然，这是欧几里得提出的一个古老结论。这个论证中最有趣的一个推论就是，如果某一天有人宣称他发现了最大的质数，很容易就能证明他是错的。对任何其他论证来说同样如此。由此可见，我们面对的数学现实与物理现实一样无可争议。”

    （选自马里奥·利维奥《最后的数学问题》，黄征译，人民邮电出版社有限公司2019年版）