题文

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD （1）求C点的坐标及抛物线的解析式； （2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后，再沿x轴对折得到 △BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由； （3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q，问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为 1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB， 又D（5，2），         ∴C（0，2），OC=2 .          ∴     解得 ；         ∴抛物线的解析式为：   （2）点E落在抛物线上. 理由如下：       由y = 0，得=0      解得x1=1，x2=4      ∴A（4，0），B（1，0）.       ∴OA=4，OB=1    由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，   由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，    ∴点E的坐标为（3，-1）. 把x=3代入，y=得，y==-1     ∴点E在抛物线上； （3）存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a-1.               S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，            记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2， 下面分两种情形：      ①当S1∶S2 =1∶3时，，      此时点P在点F（3，0）的左侧， 则PF = 3-a，     由△EPF∽△EQG，     得，则QG=9-3a，     ∴CQ=3-(9-3a) =3a -6 由S1=2，      得，解得 ；      ②当S1∶S2=3∶1时，，     此时点P在点F（3，0）的右侧，     则PF = a-3，由△EPF∽△EQG，     得QG = 3a-9，∴CQ = 3 +（3 a-9）= 3 a-6，由S1= 6，     得，解得 ； 综上所述：所求点P的坐标为（ ，0）或（ ，0）。

据专家权威分析，试题“如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。