题文

如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）。

（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）。 ① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； ② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0） 故可得c=0，b=4 所以抛物线的解析式为 由 得当x=2时，该抛物线的最大值是4。 （2）① 点P不在直线ME上 已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0）， 设直线ME的关系式为y=kx+b 于是得，解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8。 由已知条件易得，当时，OA=AP=， ∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8 ∴ 当时，点P不在直线ME上。 ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t ∴ 点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t2+4t） ∴AN=-t2+4t （0≤t≤3）， ∴ AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0 ， ∴ PN=-t2+3t （i）当PN=0，即t=0或t=3时， 以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形， 此三角形的高为AD ∴S=DC·AD=×3×2=3。 （ii）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD， ∴ S=（CD+PN）·AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3 当-t2+3t+3=5时，解得t=1、2 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5 当t=1时，此时N点的坐标（1，3） 当t=2时，此时N点的坐标（2，4）。

据专家权威分析，试题“如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；