题文

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点，以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S。 （1）求点P的坐标； （2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式； （3）若在直线y=-x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围； （4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）作于K， 则， ∴KO=6， ∴P（6，2）； （2）当时，如图①，S=0， 当时，如图②， 设AC交PM于H， ∴ 即， 或， 当时，如图③， 设AC交PN于H， ∴，或， 当时，如图④， S=4； （3）（提示：以OM为直径作圆，当直线与此圆相切时，）； （4）b的值为4，5，。 （提示：当PC=PD时，b=4，当PC=CD时，（舍），，当时，）

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]