题文

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB。

（1）求证：mn=-6； （2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF：S△QOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点， ∵A，B点坐标分别为（m，6），（n，1）， ∴BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6， 又OA⊥OB，易证△CBO∽△DOA， ∴ ∴ ∴mn=-6。 （2）由（1）得OA=mBO 又∵S△AOB=10 ∴ 即 ∴ 又 ∴ ∵mn=-6， ∴m=2，n=-3， ∴A坐标为（2，6），B坐标为（-3，1）， 易得抛物线解析式为y=-x2+10。 （3）解：直AB为y=x+4，且与y轴交于F（0，4）点， ∴OF=4， 假设存在直线l交抛物线于P，Q两点，且使S△POF：S△QOF=1：3，如图所示， 则有PF：FQ=1：3，作PM⊥y轴于M点，QN⊥y轴于N点， ∵P在抛物线y=-x2+10上，∴设P坐标为（x，-x2+10）， 则FM=OM-OF=（-x2+10）-4=-x2+6，易证△PMF∽△QNF， ∴ ∴ ∴ ∴Q点坐标为（-3x，3x2-14）， ∵Q点在抛物线y=-x2+10上， ∴3x2-14=-9x2+10 解得 ∴P坐标为 Q坐标为 ∴易得直线为 根据抛物线的对称性可得直线另解为。

据专家权威分析，试题“如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；