题文

已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），且x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点。

（1）求a，b的值； （2）分别求出直线AC和BC的解析式； （3）若动直线y=m（0＜m＜2）与线段AC，BC分别相交于D，E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0），B（3，0）， 把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2联立求解，得； （2）由（1）可得， ∵当x=0时，y=2， ∴C（0，2）， 设AC：y=kx+b，把A，C两点坐标分别代入y=kx+b， 联立求得k=2，b=2， ∴直线AC的解析式为y=2x+2； 同理可求得直线BC的解析式是； （3）假设存在满足条件的点P， 并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）， ①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2， 如图，则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形， DE=DP1=FO=EP2=m，AB=x2-x1=4， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴，即， 解得m=， ∴点D的纵坐标是， ∵点D在直线AC上， ∴2x+2=，解得x=-， ∴， ∴，同理可求P2（1，0）； ②当DE为底边时，过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3，如图， 则DG=EG=GP3=m， 由△CDE∽△CAB， 得，即， 解得m=1， 同1方法，求得， ∴DG=EG=GP3=1， ∴OP3=FG=FE-EG=， ∴P3（，0）， 结合图形可知，P3D2=P3E2=2，ED2=4， ∴， ∴△DEP3是Rt△， ∴也满足条件。 综上所述，满足条件的点P共有3个，即。

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。