如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与轴交于点A(-1,0)和B,与轴交于点C(0,3)。(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标;(2)设抛物线的顶点为D,连结CD、DB、CB、AC;①求证:△AOC∽△DCB;-九年级数学

题文

如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与轴交于点A(-1,0)和B,与轴交于点C(0,3)。

(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标;
(2)设抛物线的顶点为D,连结CD、DB、CB、AC;
①求证:△AOC∽△DCB;
②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P,使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设Q是抛物线上一点,连结QB、QC,把△QBC沿直线BC翻折得到△Q'BC,若四边形QBQ'C为菱形,求此时点Q的坐标。
题型:解答题  难度:偏难

答案

解:(1)抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3
点B的坐标是(3,0);
(2)①证明:可求得顶点D(1,4);
OA=1,OC=OB=3,∠OCB=45°
由勾股定理求得:CD=,BC=

易知:∠DCy=45° ,
故∠DCB= 90°=∠AOC
∴△AOC∽△DCB。
②存在符合条件的点P有两个:P1(9,0)或P2(0,)。
(3)若四边形QBQ'C为菱形,则QQ' 垂直平分BC
∴点Q在线段BC的垂直平分线上
∵OC=OB
∴直线QQ'平分∠BOC,
即:直线QQ'的解析式为y=x
∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3上,
∴-x2+2x+3=x
解得x=
∴Q()或()。

据专家权威分析,试题“如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与轴交于点A(-1,0)和B,与轴交于点C..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用,菱形,菱形的性质,菱形的判定,相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求二次函数的解析式及二次函数的应用菱形,菱形的性质,菱形的判定相似三角形的判定

考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式:
    最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
    (1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
    (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
    (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
    (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。

    二次函数的应用:
    (1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
    理解题意;
    建立数学模型;
    解决题目提出的问题。
    (2)应用二次函数求实际问题中的最值:
    即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式:
    ①一般式:
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式:
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
    解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
    注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况:
    当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
    当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
    当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

    ③交点式:
    y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .
    已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

    由一般式变为交点式的步骤:
    二次函数
    ∵x1+x2=-b/a, x1?x2=c/a(由韦达定理得),
    ∴y=ax2+bx+c
    =a(x2+b/ax+c/a)
    =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
    =a(x-x1)(x-x2).
    重要概念:
    a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;
    a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
    a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
    能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
    能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;
    能熟练地运用二次函数解决实际问题。

  • 二次函数的其他表达形式:
    ①牛顿插值公式:
    f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    双根式
    y=a(x-x1)*(x-x2)
    若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x
  • 最新内容
  • 相关内容
  • 网友推荐
  • 图文推荐